\(\dfrac{ax+by}{2}\) ≥ \(\dfrac{a+b}{2}\) . \(\dfrac{x+y}{2}\) với a≥b ; x≥y
Những câu hỏi liên quan
Cho \(\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\)
CMR : \(\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}\)
b) \(\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
`x=by+cz,y=ax+cz,z=ax+by`. CMR: \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow x+y+z=2ax+2by+2cz\)
\(\Rightarrow x+y+z-2x=2ax+2by+2cx-2\left(by+cz\right)=2ax\)
\(\Rightarrow2ax=y+z-x\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{y+z-x}{2x}\Rightarrow1+a=\dfrac{x+y+z}{2x}\)
Tương tự ta có: \(1+b=\dfrac{x+y+z}{2y}\) ; \(1+c=\dfrac{x+y+z}{2z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Chứng minh rằng nếu $a \ge b$, $x \ge y$ thì $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$.
ta có :
\(\frac{ax+by}{2}\ge\frac{a+b}{2}.\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge\left(a+b\right)\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge ax+ay+bx+by\)
\(\Leftrightarrow ax-ay+by-bx\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)\ge0\)
Điều này đúng do giả thuyết \(a\ge b,x\ge y\)
ta có \(\dfrac{ax+by}{2}\) ≥ \(\dfrac{a+b}{2}\). \(\dfrac{x+y}{2}\)
<=> 2(ax + by) ≥ (a + b)(x + y)
<=> 2(ax + by) ≥ ax + ay + bx + by
<=> ax + by - ay - bx ≥ 0
<=> (a - b)(x - y) ≥ 0 (luôn đúng vì giả thiết a ≥ b và x ≥ y)
vậy nếu a ≥ b, x ≥ y thì \(\dfrac{ax+by}{2}\) ≥ \(\dfrac{a+b}{2}\). \(\dfrac{x+y}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có
(luôn đúng vì giả thiết và ).
Vậy nếu , thì .
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
3 tháng 10 2021 lúc 15:40
trong không gian oxyz, cho ba đường thẳng \(d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{1},d_2:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+1}{2},d_3:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z+1}{-2}\). mặt phẳng (p) : ax + by + cz -1 = 0 (với a, b là các số nguyên dương) đi qua m(2;0;1) và cắt 3 đường thẳng trên lần lượt tại 3 điểm a, b, c sao cho tam giác abc đều. tìm (p)
Cho x,y,z,a,b,c khác 0 và \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\).Chứng minh rằng
a) \(\dfrac{a^2}{x}=\dfrac{b^2}{y}=\dfrac{c^2}{z}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
b) \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
Chứng minh:
a) \(x\ne0,y\ne0\) và \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)\) thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
b) \(x\ne0,y\ne0,z\ne0\) và \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) thì \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Tính giá trị của biểu thức: \(M=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+2}\), biết rằng 2a=by+cz, 2b=ax+cz, 2c=ax+by và \(a+b+c\ne0\)
Tính giá trị của biểu thức: \(M=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+2}\), biết rằng 2a=by+cz, 2b=ax+cz, 2c=ax+by và \(a+b+c\ne0\)
Cho \(ax^3=by^3=cz^3;\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1.\)C/m \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k\).
Khi đó ta có:
\(VT=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x}+\dfrac{k}{y}+\dfrac{k}{z}}=\sqrt[3]{k\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\).
\(VP=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{k}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\sqrt[3]{k}\).
Từ đó ta có đpcm.
Đúng 3
Bình luận (0)
Ta có: ax3 = \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}\)
Tương tự ta có: ax3 = by3 = cz3
hay \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\) = ax2 + by2 + cz2 (T/c dãy tỉ số bằng nhau)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)
= \(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\) (đpcm)
Chúc bn học tốt!
Đúng 3
Bình luận (0)