Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)

CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế:

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Bài 1:

a) Để (1) là pt bậc nhất thì \(m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)

---- hình như là còn đk m khác x+2 -------

b) Ta có ; (1) <=> (m-2)x = 2 (*)

7-4x = 2x -5 <=> 6x = 12 <=> x= 2 (**)

Từ (*) và (**) => m-2 = 1 <=> m=3

3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)

\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)

\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)

Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :

\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)

Do đó:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài 2:

Thay $1=a+b+c$ và áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\)

\(=\frac{(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)}{abc}\)

\(\geq \frac{4\sqrt[4]{a.a.b.c}.4\sqrt[4]{b.a.b.c}.4\sqrt[4]{c.a.b.c}}{abc}=\frac{64abc}{abc}=64\)

Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 3:

\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)

-Tham khảo:

-Tham khảo:

5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

áp dụng bđ cosy

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> đpcm

6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt

7.áp dụng bđt cosy

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)

1. (a-b)²>=0

=> a²+b²-2ab>=0

2. (a-b)²>=0

=> a²+b²>=2ab

=> \(\dfrac{a^2 +b^2}{2}\ge ab\)

3.Ta phích ra thôi,ta được : a²+2a < a²+2a+1

=> cauis trên đúng

Câu 1:

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(1+x^3+y^3\geq 3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\geq \frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\geq \sqrt{\frac{3}{yz}}; \frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\geq \sqrt{\frac{3}{xz}}\)

Cộng theo vế các BĐT thu được:

\(\text{VT}\geq \sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\) (Cauchy)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Câu 4:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\right)(x+y)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\)

\(\Leftrightarrow 1.(x+y)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\Rightarrow x+y\geq 5+2\sqrt{6}\)

Vậy \(A_{\min}=5+2\sqrt{6}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2+\sqrt{6}; y=3+\sqrt{6}\)

------------------------------

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)

\(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow \frac{3(a^2+b^2)}{4ab}\geq \frac{6ab}{4ab}=\frac{3}{2}\)

Cộng theo vế hai BĐT trên:

\(\Rightarrow B\geq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) hay \(B_{\min}=\frac{5}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

Bài 1 : Áp dụng bđt Cauchy ta có : \(\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}=\sqrt{3xy}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}\)

Biến đổi tương tự cho 2 vế còn lại ta có \(VT\ge\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3xz}}{xz}+\dfrac{\sqrt{3yz}}{yz}=a\)

Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số thực dương ta có : \(a\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{27x^2y^2z^2}}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[3]{\sqrt{27}}=3\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt{3}\left(đpcm\right)\)

\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)

Xét \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)

\(\Rightarrow VT=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\dfrac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\dfrac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)

\(\Leftrightarrow VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3a}{4}\)

Thiết lập tương tự và thu lại ta có :

\(VT+\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Khó quá. Đúng là Câu Hỏi Hay!!

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên có:

\(A\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\dfrac{1}{abc}}=9\)

Khi \(a=b=c\)

Bài 2:

a)Sửa đề \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)

Khi \(x=y\)

b)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:

\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{4}{2b}=\dfrac{2}{b}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c};\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\ge\dfrac{2}{a}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2VT\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)

Khi \(a=b=c\)

Câu 1: Với \(a;b;c>0\), theo bất đẳng thức Cauchy:

\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

Nhân theo vế ta được \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow MinA=9\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Câu 2: a) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{1}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2-xy}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

Xảy ra dấu đẳng thức khi x = y

b) Do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên \(a>0,b>0,c>0,a+b>0,b+c-a>0,c+a-b>0\)

Áp dụng câu a, ta có

\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{1}{2b}=\dfrac{2}{b}\)

\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{a}\)

\(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{2c}=\dfrac{2}{c}\)

1.

- Với \(a+b\ge4\Rightarrow A\le0\)

- Với \(a+b< 4\Rightarrow4-a-b>0\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.b.\left(4-a-b\right)\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+4-a-b\right)^4=4\)

\(A_{max}=4\) khi \(\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\)

2.

\(P=a+\dfrac{1}{2}.a.2b\left(1+2c\right)\le a+\dfrac{a}{8}\left(2b+1+2c\right)^2\)

\(P\le a+\dfrac{a}{8}\left(7-2a\right)^2=\dfrac{1}{8}\left(4a^3-28a^2+57a-36\right)+\dfrac{9}{2}\)

\(P\le\dfrac{1}{8}\left(a-4\right)\left(2a-3\right)^2+\dfrac{9}{2}\le\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)

Câu 3 bạn xem lại đề, mình có thể chắc chắn với bạn là đề sai

Ví dụ bạn cho \(x=98,y=100\) thì vế trái chỉ lớn hơn 8 một chút

Đề đúng phải là: \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)

Nếu câu 3 đề là \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)

Ta có:

\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+2\)

\(VT=\dfrac{x^2+y^2-2xy+2xy}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+2\)

\(VT=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{16xy\left(x-y\right)^2}{xy\left(x-y\right)^2}}+4=12\)