1. Cho a;b;c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất:
\(A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
2. a) Cho x > 0, y > 0. CMR: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{1}{x+y}\)
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Khó quá. Đúng là Câu Hỏi Hay!!
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên có:
\(A\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\dfrac{1}{abc}}=9\)
Khi \(a=b=c\)
Bài 2:
a)Sửa đề \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)
Khi \(x=y\)
b)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{4}{2b}=\dfrac{2}{b}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c};\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\ge\dfrac{2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2VT\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Khi \(a=b=c\)
Câu 1: Với \(a;b;c>0\), theo bất đẳng thức Cauchy:
\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)
Nhân theo vế ta được \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow MinA=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Câu 2: a) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{1}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2-xy}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
Xảy ra dấu đẳng thức khi x = y
b) Do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên \(a>0,b>0,c>0,a+b>0,b+c-a>0,c+a-b>0\)
Áp dụng câu a, ta có
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{1}{2b}=\dfrac{2}{b}\)
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{a}\)
\(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{4}{2c}=\dfrac{2}{c}\)
Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên rồi suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức \(\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow\) Tam giác đã cho là tam giác đều.
Những câu hỏi này không phải của mình đăng nhé.Mình nói r bn nào vào nick mình thì nói đi!