Cho 3 số dương a,b,c t/m ab+bc+ca=3abc
tìm GTLN của bt F = \(\frac{1}{a+2b+3c}\)+\(\frac{1}{2a+3b+c}\)+\(\frac{1}{3a+b+2c}\)
giải nhanh dùm mình nhá
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm GTLN của biểu thức
\(F=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)
cho a,b,c >0 và ab+bc+ca=3abc. Tìm GTLN của F=\(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)
từ giả thiết ab+bc+ca = 3abc\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
ta có \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+c+b+c+b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
tương tự ta cũng có\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\end{cases}}\)
cộng theo vế \(\Rightarrow VT\le\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}\)
\("="\)khi a=b=c=....
hic :( tự đăng rồi tự giải ra luôn :((( sorry mn
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3abc\) .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(F=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)
Áp dụng BĐT Svarxơ:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\)\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}+\dfrac{9}{3c}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}\)\(=\dfrac{36}{a+2b+3c}\)
CMTT: \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{36}{2a+3b+c}\)
\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{36}{3a+b+2c}\)
Cộng vế theo vế, ta có: \(6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge36\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=36F\)
Có: \(ab+bc+ca=3abc\)
Vì a,b,c>0 nên chia cả 2 vế cho abc:
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=3\)
\(\Rightarrow36F\le18\Leftrightarrow F\le\dfrac{1}{2}\)
Vậy Fmin\(=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=3abc. Tìm max của biểu thức:
\(F=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)
Lời giải:
Từ \(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)(a+b+b+c+c+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}\geq \frac{36}{b+2c+3a}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq \frac{36}{c+2a+3b}\)
Cộng các BĐT vừa thu được ở trên theo vế và rút gọn:
\(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}+\frac{36}{b+2c+3a}+\frac{36}{c+2a+3b}\)
\(\Leftrightarrow 6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 36F\)
\(\Leftrightarrow 18\geq 36F\Leftrightarrow F\leq \frac{1}{2}\)
Vậy \(F_{\max}=\frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3ac
Tìm GTLN của biểu thức: F= \(\frac{1}{a+2b+3c}\)+\(\frac{1}{2a+3b+c}\)+\(\frac{1}{3a+b+2c}\)
Giải dễ hiểu, dài cũng đc nhưng theo chương trình lớp 9 nhé mong mn giúp đỡ ạ
Cứ phải cảnh giác bạn à:
không biết hay vô tình hay hưu ý nữa nhưng các câu hỏi sai xuất hiện rất nhiều
khi hỏi lại, không thấy phải hồi. hay là người hỏi cũng chưa hiểu câu hỏi
cho các số dương a,b,c thỏa mãn
abc=ab+bc+ca
cmr: \(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+2c+b}< \frac{3}{16}\)
Ối,không ngờ đề gắt ~v
Theo Cô si,ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)
Suy ra \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{9}\left[\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{12}\left[2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Nhân abc vào mỗi vế : \(VT.abc\le\frac{1}{6}\left(ab+bc+ca\right)=\frac{abc}{6}\)
Chia cả hai vế cho abc (vì a,b,c dương nên abc khác 0): \(VT\le\frac{1}{6}< \frac{3}{16}\)(đpcm)
Cũng không biết đúng hay sai nữa :v
Lưu ý rằng: \(VT=\frac{1}{6}\Leftrightarrow a=b=c=3\)
tth sai sao đc Giáo Viên t i c k????
cô Linh Chi sao t i c k cho bài làm sai???
CMR nếu a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
abc=ab+bc+ca thì \(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}< \frac{3}{16}\)
\(abc=ab+bc+ca\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
\(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+b+b+c+c+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\) ; \(\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{36}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}< \frac{3}{16}\)
Cho 3 số dương a,b,c thõa mãn \(ab+bc+ca=3abc.\) Tìm GTLN của biểu thức :
\(F=\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{2a+3b+c}+\dfrac{1}{3a+b+2c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}+\dfrac{9}{3c}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}=\dfrac{36}{a+2b+3c}\)
\(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{4}{2a}+\dfrac{9}{3b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(2+3+1\right)^2}{2a+3b+c}=\dfrac{36}{2a+3b+c}\)
\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}=\dfrac{9}{3a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{2c}\ge\dfrac{\left(3+1+2\right)^2}{3a+b+2c}=\dfrac{36}{3a+2b+c}\)
Cộng theo vế: \(6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge36F\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge6F\)
Mặt khác: \(ab+bc+ac=3abc\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ac}{abc}=3\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
\(\Rightarrow18\ge36F\Leftrightarrow F\le\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
cho các số dương a,b,c. chứng minh:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{a+b+c}{6}\)