Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Võ Thị Kim Dung

Cho 3 số dương a,b,c thõa mãn \(ab+bc+ca=3abc.\) Tìm GTLN của biểu thức :

\(F=\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{2a+3b+c}+\dfrac{1}{3a+b+2c}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}+\dfrac{9}{3c}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}=\dfrac{36}{a+2b+3c}\)

\(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{4}{2a}+\dfrac{9}{3b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(2+3+1\right)^2}{2a+3b+c}=\dfrac{36}{2a+3b+c}\)

\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}=\dfrac{9}{3a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{2c}\ge\dfrac{\left(3+1+2\right)^2}{3a+b+2c}=\dfrac{36}{3a+2b+c}\)

Cộng theo vế: \(6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge36F\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge6F\)

Mặt khác: \(ab+bc+ac=3abc\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ac}{abc}=3\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

\(\Rightarrow18\ge36F\Leftrightarrow F\le\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Bích Thuỳ
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bích Thuỳ
Xem chi tiết
Komorebi
Xem chi tiết
Thủy Lê Thị Thanh
Xem chi tiết
Gillgames
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn Minh
Xem chi tiết
Lê Hà My
Xem chi tiết
Quý Công Tử *
Xem chi tiết