Khôi Bùi

Gọi E là giao điểm của AD và đường thẳng đi qua C , vuông góc với CA

Do AB // CE ( GT ) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{CE}=\dfrac{BD}{DC}=2\) ( Định lý Ta - lét )

Vì tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\)

Mà \(AC=2AM\) ( do BM là trung tuyến \(\Rightarrow AM=MC=\dfrac{1}{2}AC\))

\(\Rightarrow AB=2AM\)

\(\Rightarrow\dfrac{2AM}{CE}=2\Rightarrow\dfrac{AM}{CE}=1\Rightarrow AM=CE\)

Xét tam giác BAM và tam giác ACE có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(GT\right)\\\widehat{BAM}=\widehat{ACE}\left(=90^o\right)\\AM=CE\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) tam giác BAM = tam giác ACE ( c . g . c )

\(\Rightarrow\) góc AMB = góc AEC ( 2 góc t/ứng )

Mà góc AEC + góc CAE = 90 độ

=> góc AMB + góc CAE = 90 độ

=> BM vuông góc với AD ( đpcm )

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương a , b , c , ta có :

\(D=\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(A=\dfrac{x}{x^2+2x+1}=\dfrac{x}{\left(x+1\right)^2}\)

Đặt \(x+1=a\) , ta có :

\(A=\dfrac{x+1-1}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{a-1}{a^2}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}\)

Đặt \(\dfrac{1}{a}=t\) , ta có : \(A=t-t^2=-\left(t^2-t+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}-\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{1}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=2\Leftrightarrow x+1=2\Leftrightarrow x=1\)

Vậy Max A là : \(\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=1\)

a ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :

\(x^2+y^2+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{2^2}{4}}=2+1=3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy ...

b ) Áp dụng BĐT Cô-si với 2 số x ; y > 0 , ta có :

\(x+y+\dfrac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{xy.\dfrac{1}{xy}}=3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{xy}\)

\(\Leftrightarrow x^2y=y^2x=1\)

\(\Leftrightarrow x^3y^3=1\Leftrightarrow xy=1\left(x;y>0\right)\)

\(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy ...

ĐKXĐ : \(\forall x\)

Ta có : \(\dfrac{x^2}{x^2+2x+2}+\dfrac{x^2}{x^2-2x+2}-\dfrac{4\left(x^2-5\right)}{x^4+4}=\dfrac{322}{65}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2\left(x^2-2x+2\right)+x^2\left(x^2+2x+2\right)-4\left(x^2-5\right)}{x^4+4}=\dfrac{322}{65}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4-2x^3+2x^2+x^4+2x^3+2x^2-4x^2+20}{x^4+4}=\dfrac{322}{65}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^4+20}{x^4+4}=\dfrac{322}{65}\)

\(\Leftrightarrow65\left(2x^4+20\right)=322\left(x^4+4\right)\)

\(\Leftrightarrow130x^4+1300=322x^4+1288\)

\(\Leftrightarrow192x^4-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^4=\dfrac{12}{192}\)

\(\Leftrightarrow x^4=\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

Đề sai nhé . \(\ge3\)

Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\) ( x ; y ; z luôn > 0 )

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{x+y}{2}\\a=\dfrac{y+z}{2};b=\dfrac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(A=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số , ta có :

\(A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{2x.2y.2z}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8xyz}{8xyz}}=3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

Bài này bạn cộng 1 ở phân thức đầu nhé , rồi 2 phân thức kia , mỗi phân thức cùng trừ 1 là ra

P/s : Bài dài nên mik chỉ gợi ý thôi

Đề sai nha . Phải là \(\left(a+b+c\right)^3\)

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si với a ; b ; c dương , ta có :

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 )

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

v xuôi dòng = v thực + v nước

v ngược dòng = v thực - v nước

Gọi vận tốc thực của ca nô là \(a\left(a>0\right)\) ( km/h )

\(\Rightarrow\) v xuôi = a + 5 ; v ngược = a - 5

\(\Rightarrow s_{AB}=3\left(a+5\right)=4\left(a-5\right)\) ( km )

Ta có : \(3\left(a+5\right)=4\left(a-5\right)\)

\(\Leftrightarrow3a+15=4a-20\)

\(\Leftrightarrow0=a-35\)

\(\Leftrightarrow a=35\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+5\right)=3.\left(35+5\right)=3.40=120\)

\(\Leftrightarrow s_{AB}=120\left(km\right)\)

Vậy ...

Cái này là BĐT Bunhiacopxki đó bạn

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2\ge a^2x^2+b^2y^2+2axby\)

\(\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2\ge2axby\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

\(\Rightarrowđpcm\)

Gọi chiều rộng , chiều dài ban đầu của HCN là a ; b \(\left(a;b>0\right)\)

Ta có PT :

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(a+b\right)=200\\2\left(a+b\right)+4=2\left[a+\dfrac{1}{10}b+b-\dfrac{1}{10}a\right]\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=100\\200+4=2\left[100+\dfrac{1}{10}\left(b-a\right)\right]\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=100\\100+\dfrac{1}{10}\left(b-a\right)=102\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=100\\b-a=20\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=40\\b=60\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

a ) \(yx^2+yx+y=1\)

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+x+1\right)=1\)

Do x ; y nguyên \(\Rightarrow y;x^2+x+1\in Z\)

Mà \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x^2+x+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x\left(x+1\right)\end{matrix}\right.=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b ) \(x^2+x-y^2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=y^2\)

Do \(y^2\) là scp ; \(x\left(x+1\right)\)là tích 2 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

1 ) \(B=\dfrac{x^2-2x+2011}{x^2}=1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2011}{x^2}\)

Đặt \(\dfrac{1}{x}=a\) , khi đó :

\(B=1-2a+2011a^2\)

\(=2011\left(a^2-2a.\dfrac{1}{2011}+\dfrac{1}{2011^2}\right)+\dfrac{2010}{2011}\)

\(=2011\left(a-\dfrac{1}{2011}\right)^2+\dfrac{2010}{2011}\ge\dfrac{2010}{2011}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2011}\Leftrightarrow x=2011\)

2 ) ĐKXĐ : \(x\ne-1\)\(C=\dfrac{3\left(x+1\right)}{x^3+x^2+x+1}=\dfrac{3\left(x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{3}{x^2+1}\le\dfrac{3}{1}=3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

Gọi số h để 2 người gặp nhau là a \(\left(a>0\right)\)

Theo bài ra ta có :

\(\dfrac{110}{\left(45+30\right)}=a\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{110}{75}=a\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{22}{15}\left(h\right)\)

Vậy ...

Ta có : \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)

Do \(\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(a+b\right).c\) ( áp dụng BĐT Cô - si )

\(\Rightarrow1\ge4\left(a+b\right)c\)

\(A=\dfrac{a+b}{abc}=\dfrac{\left(a+b\right).1}{abc}\ge\dfrac{\left(a+b\right).4\left(a+b\right)c}{abc}=\dfrac{4\left(a+b\right)^2.c}{abc}\ge\dfrac{4.4ab.c}{abc}=16\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a+b=c;a=b;a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{4};c=\dfrac{1}{2}\)

Vậy ...

Có trong câu hỏi tt nhé

Áp dụng BĐT Cauchy với a ; b ; c dương , ta có :

\(\dfrac{a}{2b+a}+\dfrac{b}{2c+b}+\dfrac{c}{2a+b}=\dfrac{a^2}{2ab+a^2}+\dfrac{b^2}{2bc+b^2}+\dfrac{c^2}{2ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy ...

Xin lỗi bạn , mik giải muộn

Do a ; b ; c là 3 cạnh của tam giác \(\Rightarrow a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)

Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;a+c-b=z\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a+b+c\\x+y=2b;y+z=2c;z+x=2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a+b+c\\b=\dfrac{x+y}{2};c=\dfrac{y+z}{2};a=\dfrac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt PT đã cho là A . Ta có :

\(A=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4y}+\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{4z}\)

\(=\dfrac{x^2+xy+xz+yz}{4x}+\dfrac{xy+y^2+xz+yz}{4y}+\dfrac{xy+xz+yz+z^2}{4z}\)

\(=\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{yz}{4x}+\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{xz}{4y}+\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{xy}{4z}\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\dfrac{yz}{4x}+\dfrac{xz}{4y}+\dfrac{xy}{4z}\)

\(=3\left(x+y+z\right)+\dfrac{y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2}{4xyz}\)

Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\dfrac{x+y+z}{4}=x+y+z=a+b+c\)

\(\Rightarrowđpcm\)

ĐK : \(x;y\ne0;x\ne-y\)\(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2\\x^3+y^3+6=8x^2y^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2;x+y=\dfrac{2}{xy}\\x^3+y^3+3.xy\left(x+y\right)=8x^2y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2;x+y=\dfrac{2}{xy}\\\left(x+y\right)^3=8x^2y^2\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left(x+y\right)^3=8x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{xy}\right)^3=8x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{x^3y^3}=8x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3y^3}=x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow1=\left(xy\right)^5\)

\(\Leftrightarrow xy=1\)

Do xy = 1 \(\Rightarrow x+y=\dfrac{2}{1}=2\)

Ta lại có :

\(x^3+y^3+6=8x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2-xy\right)+6=8\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=0\Leftrightarrow x=y\)

Mà \(x+y=2\)

\(\Rightarrow x=y=1\)

Vậy ...

Ta có : \(a^2+b^2=c^2+d^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-c^2=d^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)=\left(d-b\right)\left(d+b\right)\)

Do \(a+b=c+d\Rightarrow a-c=d-b\)

\(\Rightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)=\left(a-c\right)\left(d+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c-b-d\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-c=0=d-b\\a+c=b+d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=c\\d=b\end{matrix}\right.\\a+c=b+d\end{matrix}\right.\)

Với a = c ; d = b \(\Rightarrow a^{2012}+b^{2012}=c^{2012}+d^{2012}\left(đpcm\right)\)

Với \(a+c=b+d\)

Mà \(a+b=c+d\)

\(\Rightarrow a+c+a+b=b+d+c+d\)

\(\Rightarrow2a=2d\Rightarrow a=d\Rightarrow a^{2012}=d^{2012}\left(1\right)\)

Lại có : \(a+c=b+d\)

\(\Rightarrow b=c\Rightarrow b^{2012}=c^{2012}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 )

\(\Rightarrow a^{2012}+b^{2012}=c^{2012}+d^{2012}\left(đpcm\right)\)