Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng

Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma

Bài 1:

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)

Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} \frac{2a+5b}{3a-4b}=\frac{2bk+5b}{3bk-4b}=\frac{b(2k+5)}{b(3k-4)}=\frac{2k+5}{3k-4}\\ \frac{2c+5d}{3c-4d}=\frac{2dk+5d}{3dk-4d}=\frac{d(2k+5)}{d(3k-4)}=\frac{2k+5}{3k-4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{2a+5b}{3a-4b}=\frac{2c+5d}{3c-4d}\)

Ta có đpcm.

Bài 2:

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)

Khi đó: \(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\)

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{(bk)^2+b^2}{(dk)^2+d^2}=\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\frac{b^2}{d^2}\)

Do đó: \(\frac{ab}{cd}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}(=\frac{b^2}{d^2})\) . Ta có đpcm.

Bài 3:

a) Sửa điều kiện: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\neq -1\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)

Theo đkđb thì \(k\neq -1\) nên \(k^3+1\neq 0\); \(k+1\neq 0\)

Ta có: \(\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\frac{(bk)^3+b^3}{(dk)^3+d^3}=\frac{b^3(k^3+1)}{d^3(k^3+1)}=\frac{b^3}{d^3}\)

\(\frac{(a+b)^3}{(c+d)^3}=\frac{(bk+b)^3}{(dk+d)^3}=\frac{b^3(k+1)^3}{d^3(k+1)^3}=\frac{b^3}{d^3}\)

\(\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\frac{(a+b)^3}{(c+d)^3}\) (đpcm)

b)

Đặt \(\frac{a}{b}=k; \frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bk; c=dt\)

Ta cần cm \(k=t\)

Khi đó:

\(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2bk+13b}{3bk-7b}=\frac{b(2k+13)}{b(3k-7)}=\frac{2k+13}{3k-7}\)

\(\frac{2c+13d}{3c-7d}=\frac{2dt+13d}{3dt-7d}=\frac{d(2t+13)}{d(3t-7)}=\frac{2t+13}{3t-7}\)

Vì \(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2c+13d}{3c-7d}\Rightarrow \frac{2k+13}{3k-7}=\frac{2t+13}{3t-7}\)

\(\Rightarrow (2k+13)(3t-7)=(2t+13)(3k-7)\)

\(-14k+39t=-14t+39k\Rightarrow k=t\)

Ta có đpcm.

ta có :

\(\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}=\dfrac{bxz-cyz}{ax}=\dfrac{cxy-azy}{by}=\dfrac{ayz-bxz}{cz}\)áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:\(\dfrac{bzx-cyx}{ax}=\dfrac{cxy-azy}{by}=\dfrac{ayz-bxz}{cz}=\dfrac{bzx-cyx+cxy-azy+ayz-bxz}{ax+by+cz}=0\)

suy ra : bz-cy=0 \(\Rightarrow bz=cy\Rightarrow\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\left(1\right)\)

cx-az=0\(\Rightarrow cx=az\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\left(2\right)\)

ay-bx=0\(\Rightarrow ay=bx\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\left(3\right)\)

từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

Ta có: \(\dfrac{bz-cy}{a}\)= \(\dfrac{cx-az}{b}\)=\(\dfrac{ay-bx}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{abz-acy}{a^2}=\dfrac{bcx-baz}{b^2}=\dfrac{cay-cbx}{c^2}\)(nhân cả tử và mẫu với mẫu của phân số)
\(=\dfrac{abz-acy+bcx-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}\) (t/c của dãy tỉ số bằng nhau)
(đến đây ta thấy tử = 0 vì chúng là các số đối nhau, abz-baz; acy-cay; bcx-cbx)
\(=\dfrac{0}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{bz-cy}{a}\)= 0 (mà để là một phân số thì mẫu phải khác 0) suy ra a khác 0 vậy bz-cy=0 \(\Rightarrow bz=cy\Rightarrow\dfrac{z}{c}=\dfrac{y}{b}\)(1)
tương tự \(\dfrac{cx-az}{b}\)=0 suy ra \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\) từ 1 và 2 suy ra điều phải c/m\(\)

bz-cy/a = cx- az /b = ay-bx /c => bxz-cxy / ax = cxy-azy / b = azy-bxz/c = bxz-cxy + cxy-azy+azy-bxz / a+b+c = 0/ a+b+c = 0

Suy ra : bz -cy/a = 0 => bz-cy=0 => bz = cy => z/c = b/y

cx-az/b = 0 => cx-az=0 => cx=az => x/a = z/c

ay-bx/c = 0 => ay-bx = 0 => ay=bx=> y/b = x/a

Vậy x/a=y/b=c/z

Lời giải:
Sửa đề: $z$ đầu tiên ở mẫu đổi thành $a$.

Ta có:

$\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}$

$=\frac{abz-cya}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}$

$=\frac{abz-cya+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0$

$\Rightarrow bz-cy=cx-az=ay-bx=0$

$\Rightarrow bz=cy; cx=az; ay=bx$

$\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

Ta có đpcm.

Phương Ann Nhã Doanh Đinh Đức Hùng Mashiro Shiina

Nguyễn Thanh Hằng Nguyễn Huy Tú Lightning Farron

Akai Haruma Võ Đông Anh Tuấn

mấy anh chị cm cho e thêm cái : \(\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}\)

Ta có:

\(b^2=ac\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\left(1\right)\)

\(c^2=bd\Rightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), suy ra: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d}\)

Vậy \(\dfrac{a}{d}=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)(đpcm)

~ Học tốt!~

Ta có : \(\dfrac{bz-cy}{a}\text{=}\dfrac{cx-az}{b}\text{=}\dfrac{ay-bx}{c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}\text{=}\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}\text{=}\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}\text{=}\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}\text{=}\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\text{=}\dfrac{abz-acy+bcz-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}\text{=}0\)

\(\Rightarrow\dfrac{bz-cy}{a}\text{=}0\Rightarrow bz\text{=}cy\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{c}\text{=}\dfrac{y}{z}\left(1\right)\)

\(\dfrac{cx-az}{b}\text{=}0\Rightarrow cx\text{=}az\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{a}\text{=}\dfrac{z}{x}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2):

\(\Rightarrow dpcm\)