cho a,b>0. CMR:\(\frac{5a^3-b^3}{3a^2+ab}< =2a-b\)
cho a;b;c >0. CMR:
\(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ac+3a^2}\ge a+b+c\)
Đề bài bị trái dấu bạn nhé
CM \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3ab^2\)
\(\Leftrightarrow b^3+a^3-ab^2-ba^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)đúng với mọi a, b>0
CMTT các hạng tử khác
\(\Rightarrow P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^3}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^3}+\frac{5a^3-c^3}{ac+3a^2}\le2b-a+2c-b+2a-c=a+b+c\)
vậy đề sai rồi chứ mình giải mãi chả ra mà toàn ngược dấu nên mình tưởng mình sai
cho a,b,c>0
cmr \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3b^2}+\frac{5b^3-c^3}{cb+3c^2}+\frac{5c^3-a^3}{ac+3a^2}\le a+b+c\)
Xem kỹ lại đề nhé. Anh không nghĩ đề đúng đâu
Chứng minh: \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3b^2}\le2a-b\)
Còn lại tương tự
Cho a,b,c>0 và a+b+c=2007. CMR:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ac+3c^2}\le2007\)
Xét Bất đẳng thức phụ:
\(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2\le a^3+b^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự ta có:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\le2a-c\);\(\frac{5c^3-a^3}{ac+3c^2}\le2c-b\)
Cộng lại theo vế ta có:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ac+3c^2}\le2b-a+2a-c+2c-b=a+b+c=2007\)
Đpcm
l405ttol9to5l9g
cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c ≤ 2018. Cmr:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^3}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^3}\le2018\)
Ta có: \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}=\frac{3a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)
\(=a-\frac{a^2b+b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)
= \(a-\frac{b\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^3}{a\left(b+3a\right)}\) (1)
Áp dụng BĐT AM - GM ( x2 + y2 \(\ge2xy\)) ta có:
(1) \(\le a-\frac{2ab^2}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^2}{b+3a}\) = \(a-\frac{2b^2}{b+3a}+\frac{2a^2}{b+3a}\) (2)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\le b-\frac{2c^2}{c+3b}+\frac{2b^2}{c+3b}\left(3\right)\)
\(\frac{5c^3-a^2}{ca+3c^2}\)\(\le c-\frac{2a^2}{a+3c}+\frac{2c^2}{a+3c}\)(4)
Từ (2), (3), (4) \(\Rightarrow\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le a+b+c+\left(\frac{2a^2}{a+3c}-\frac{2a^2}{a+3c}\right)+\left(\frac{2b^2}{b+3c}-\frac{2b^2}{b+3c}\right)+\left(\frac{2c^2}{c+3a}-\frac{2c^2}{c+3a}\right)=a+b+c\le2018\)
Vậy \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le2018\)
1. Cho a,b,c > 0. Cmr :
\(\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
2. Cho a,b,c > 0. Cmr :
\(\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\ge\frac{2}{3}\)
1.
\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
2.
\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)
Thục Trinh, tran nguyen bao quan, Phùng Tuệ Minh, Ribi Nkok Ngok, Lê Nguyễn Ngọc Nhi, Tạ Thị Diễm Quỳnh,
Nguyễn Huy Thắng, ?Amanda?, saint suppapong udomkaewkanjana
Help me!
Bài thứ hai đó áp dụng bđt cauchy showas là ra rồi sử dụng tch bắc cầu tệ.
Câu 1 : Cho a,b,c>0 thỏa mã ab+bc+ac=3. CMR : \(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ac}+\frac{c}{2c^2+ab}\ge abc\)
Câu 2 : Cho a,b,c>0. CMR: \(\frac{2}{a}+\frac{6}{b}+\frac{9}{c}\ge\frac{8}{2a+b}+\frac{48}{3b+2c}+\frac{12}{c+3a}\)
Xin lỗi lúc này do thày nhìn nhầm nên nghĩ câu 2 sai đề. Để đền bù thiệt hại, xin giải lại cả hai bài cho em
Cả hai bài toán này đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz. Em xem link dưới đây để biết rõ hơn: http://olm.vn/hoi-dap/question/174274.html
Câu 1. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ac}+\frac{c}{2c^2+ab}=\frac{1}{2a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2b+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2c+\frac{ab}{c}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)+\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}}=\frac{9abc}{2abc\left(a+b+c\right)+\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)
\(=\frac{9abc}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{9abc}{9}=abc.\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 2. Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz
\(\frac{8}{2a+b}=\frac{4}{a+\frac{b}{2}}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{b}{2}}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}.\)
Tương tự, \(\frac{48}{3b+2c}=\frac{16}{b+\frac{2c}{3}}\le4\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\frac{2c}{3}}\right)=\frac{4}{b}+\frac{6}{c},\) và \(\frac{12}{c+3a}=\frac{4}{\frac{c}{3}+a}\le\frac{1}{\frac{c}{3}}+\frac{1}{a}=\frac{3}{c}+\frac{1}{a}.\)
Cộng ba bất đẳng thức lại ta được
\(\frac{8}{2a+b}+\frac{48}{3b+2c}+\frac{12}{c+3a}\le\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)+\left(\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\right)+\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{a}+\frac{6}{b}+\frac{9}{c}.\) (ĐPCM).
Cho a2 = bc
CMR:
a,\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)
b,\(\frac{c}{2a-5c}=\frac{a}{2b-5a}\)
c,\(\frac{3a-7c}{2a+5c}=\frac{3b-7a}{2b+5a}\)
d,\(\frac{2a^2-c^2}{a^2+3c^2}=\frac{2b^2-a^2}{b^2+3a^2}\)
Cho a, b, c > 0:
CMR: \(\frac{1}{5a+b}+\frac{1}{5b+c}+\frac{1}{5c+a}\ge\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{b+3c+2a}+\frac{1}{c+3a+2b}\)
Xin ngoại lệ ạ ( Ko liên quan đến câu hỏi)
1.\(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca=3\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
2.\(a,b,c>0\). Cmr: \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
3. \(a,b,c>0\). Cmr: \(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{a+b+c}{6}\)
1. Vai trò a, b, c như nhau. Không mất tính tổng quát. Giả sử \(a\ge b\ge0\)
Mà \(ab+bc+ca=3\). Do đó \(ab\ge1\)
Ta cần chứng minh rằng \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\left(1\right)\)
Và \(\frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ab-a^2\right)\left(1+b^2\right)+\left(ab-b^2\right)\left(1+a^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[-a\left(1+b^2\right)+b\left(1+a^2\right)\right]\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\left(BĐT:đúng\right)\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow c^2+3-ab\ge3abc^2\\ \Leftrightarrow c^2+ca+bc\ge3abc^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3abc\)
BĐT đúng, vì \(\left(a+b+c\right)^2>3\left(ab+bc+ca\right)=q\)
và \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
Nên \(a+b+c\ge3\ge3abc\)
Từ (1) và (2) ta có \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), ta được
\(\frac{9}{a+3b+2c}=\frac{1}{a+c+b+c+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Do đó ta được
\(\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự ta được
\(\frac{bc}{2a+b+3c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{b}{2}\right);\frac{ac}{3a+2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}+\frac{c}{2}\right)\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được
\(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\)Vậy BĐT đc CM
ĐẲng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c >0
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2+2b^2+c^2=(a^2+b^2)+(a^2+c^2)\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}.\frac{(a+c)^2}{2}}=(a+b)(a+c)\)
\(\Rightarrow \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}\leq \frac{ab^2}{(a+b)(a+c)}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \sum \frac{ab^2}{(a+b)(a+c)}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Ta cần CM: \(\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{a+b+c}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4abc(a+b+c)\leq (a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(\Leftrightarrow 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4abc(a+b+c)\leq (a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(\Leftrightarrow 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4abc(a+b+c)\leq (a+b+c)[(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc]\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq (a^3b+ab^3)+(bc^3+b^3c)+(ca^3+c^3a)\)
(dễ thấy luôn đúng do theo BĐT AM-GM)
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$