Ok here we go

Chắc là ko cần hiểu đâu, nhưng toàn bộ nằm trong quy tắc cơ bản mà: \(\int\left(uv\right)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx\)

\(\int f'\left(x\right)dx=f\left(x\right)\) nên \(\int\left(uv\right)'dx=uv\)

\(v'dx=dv\) ; \(u'dx=du\)

ráp vào là thành công thức kia

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=4k+1\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4k+1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow-1\le\frac{4k+1}{\sqrt{2}}\le1\)

\(\Rightarrow\frac{-\sqrt{2}-1}{4}\le k\le\frac{\sqrt{2}-1}{4}\)

\(\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

a) \(\sqrt{\left|x-1\right|-3}\) 

Với \(x\ge1\) thì

\(\sqrt{x-1-3}=\sqrt{x-4}\) được xác định khi:
\(x\ge4\)

Với \(x< 1\) thì

\(\sqrt{-\left(x-1\right)-3}=\sqrt{-x+1-3}=\sqrt{-x-2}\) được xác đinh khi:

\(x\le-2\)

\(a,\sqrt{\left|x-1\right|-3}\) xác định \(\Leftrightarrow\left|x-1\right|-3\ge0\Leftrightarrow\left|x-1\right|\ge3\)

\(TH_1:x\ge1\\ x-1\ge3\Leftrightarrow x\ge4\left(tm\right)\\ TH_2:x< 1\\ x-1\ge-3\\ \Leftrightarrow x\ge-2\left(tm\right)\)

Vậy căn thức trên xác định \(\Leftrightarrow x\ge4\)

\(b,\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\) xác định \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2\sqrt{x-1}\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}\le\dfrac{x}{2}\\x\ge1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1\le\dfrac{x^2}{4}\\x\ge1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x-4-x^2\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\left(x^2-4x+4\right)\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\ge0\left(LD\right)\\x\ge1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x\ge1\)

Vậy căn thức trên xác định \(\Leftrightarrow x\ge1\)

\(c,\dfrac{1}{\sqrt{9-12x+4x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(3-2x\right)^2}}=\dfrac{1}{3-2x}\) xác định \(\Leftrightarrow3-2x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{3}{2}\)

Vậy căn thức trên xác định \(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{3}{2}\)

c) \(\dfrac{1}{\sqrt{9-12x+4x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(3-2x\right)^2}}=\dfrac{1}{3-2x}\) 

Xác định khi:

\(3-2x\ne0\)

\(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{3}{2}\)

a) \(A=\sqrt{4x^2+4x+2}=\sqrt{4x^2+4x+1+1}=\sqrt{\left(2x+1\right)^2+1}\)

Vì \(\left(2x+1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+1\ge1\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{1}=1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2x+1=0\)\(\Leftrightarrow2x=-1\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy \(minA=1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

b) \(B=\sqrt{2x^2-4x+5+1}=\sqrt{2x^2-4x+2+3+1}=\sqrt{2\left(x^2-2x+1\right)+4}\)

\(=\sqrt{2\left(x-1\right)^2+4}\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2+4\ge4\forall x\)

\(\Rightarrow B\ge\sqrt{4}=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(minB=2\Leftrightarrow x=1\)

Mơn bạn nha

a) A = \(\sqrt{-x^2+x+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{1-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}\le\sqrt{1}=1\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\))

Vậy max A = 1 (khi và chỉ khi x = \(\dfrac{1}{2}\))

b) B = \(\sqrt{\left(2x^2-x-1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}=3\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1;x=-\dfrac{1}{2}\)).

Vậy min B = 3 (khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = \(-\dfrac{1}{2}\))

c) C = \(\left|5x-2\right|+\left|5x\right|=\left|2-5x\right|+\left|5x\right|\);

C \(\ge\left|2-5x+5x\right|=\left|2\right|=2\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2-5x\right).5x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\2-5x\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\2-5x\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0\le x\le\dfrac{2}{5}\)).

Vậy min C = 2 (khi và chỉ khi \(0\le x\le\dfrac{2}{5}\))

Đặt \(T=\left|\sqrt{4x^2-12x+10}-\sqrt{4x^2+20x+74}\right|\)

\(T=\left|\sqrt{\left(2x-3\right)^2+1}-\sqrt{\left(2x+5\right)^2+7^2}\right|\)

Trong hệ tọa độ Oxy, xét \(M\left(2x;0\right);A\left(3;1\right);B\left(-5;7\right)\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{\left(2x-3\right)^2+1}\\BM=\sqrt{\left(2x+5\right)^2+7^2}\end{matrix}\right.\) ;  \(AB=\sqrt{8^2+6^2}=10\)

\(\Rightarrow T=\left|AM-BM\right|\le AB=10\)

\(\Rightarrow0\le T\le10\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(0\le m\le10\)

Có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 4:

Giả sử điều cần chứng minh là đúng

\(\Rightarrow x=y\), thay vào điều kiện ở đề bài, ta được:

\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}\) (luôn đúng)

Vậy điều cần chứng minh là đúng

2) \(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)

⇔ \(\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}-2\sqrt{x-4}+2\sqrt{x+5}-\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}=0\)

⇔ \(\sqrt{x-4}.\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{x+5}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}=0\\\sqrt{x-1}-2=0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}=\sqrt{x+5}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=5\end{matrix}\right.\)

⇔ x = 5

Vậy S = {5}

Bài 1:

ĐKĐB suy ra $x(x+1)+y(y+1)=3x^2+xy-4x+2y+2$

$\Leftrightarrow 2x^2+x(y-5)+(y-y^2+2)=0$

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$

$\Delta=(y-5)^2-4(y-y^2+2)=(3y-3)^2$Do đó:

$x=\frac{y+1}{2}$ hoặc $x=2-y$. Thay vào một trong 2 phương trình ban đầu ta thu được:

$(x,y)=(\frac{-4}{5}, \frac{-13}{5}); (1,1)$

\(P=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(P=\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|\)

\(P=\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\ge\left|2x-1+3-2x\right|=2\)

\(P_{min}=2\) khi \(\left(2x-1\right)\left(3-2x\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

Giups mik vs