Question

1) Giải hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xy-4x+2y=2\\x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)=4\end{matrix}\right.\)

2) Giải phương trình

\(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)

3) Tính giá trị của biểu thức

\(A=2x^3+3x^2-4x+2\)

Với \(x=\sqrt{2+\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-1\)

4) Cho x, y thỏa mãn:

\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{y+2014}+\sqrt{2015-y}-\sqrt{2014-y}\)

Chứng minh \(x=y\)

Answer 1

Câu 4:

Giả sử điều cần chứng minh là đúng

\(\Rightarrow x=y\), thay vào điều kiện ở đề bài, ta được:

\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}\) (luôn đúng)

Vậy điều cần chứng minh là đúng

Answer 2

2) \(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)

⇔ \(\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}-2\sqrt{x-4}+2\sqrt{x+5}-\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}=0\)

⇔ \(\sqrt{x-4}.\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{x+5}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}=0\\\sqrt{x-1}-2=0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}=\sqrt{x+5}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=5\end{matrix}\right.\)

⇔ x = 5

Vậy S = {5}

Answer 3

Bài 1:

ĐKĐB suy ra $x(x+1)+y(y+1)=3x^2+xy-4x+2y+2$

$\Leftrightarrow 2x^2+x(y-5)+(y-y^2+2)=0$

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$

$\Delta=(y-5)^2-4(y-y^2+2)=(3y-3)^2$Do đó:

$x=\frac{y+1}{2}$ hoặc $x=2-y$. Thay vào một trong 2 phương trình ban đầu ta thu được:

$(x,y)=(\frac{-4}{5}, \frac{-13}{5}); (1,1)$

Answer 4

Bài 3. 

Đặt \(\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}=a; \sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}=b\) với $a,b>0$

Ta có:

$a^2+b^2=4$\(ab=\sqrt{4-\frac{5+\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2^2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

\(\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}=a+b=\sqrt{a^2+b^2+2ab}=\sqrt{4+\sqrt{5}-1}=\sqrt{3-\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}-1=-1\)

Do đó:

\(A=2x^3+3x^2-4x+2=-2+3+4+2=7\)

 

Answer 5

Bài 4:

Nếu $x=y=-2014; x=y=2015; x=y=2014$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài (1)

Nếu khác những TH ở trên:PT \(\Leftrightarrow (\sqrt{x+2014}-\sqrt{y+2014})-(\sqrt{2015-y}-\sqrt{2015-x})+(\sqrt{2014-y}-\sqrt{2014-x})=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x+2014}+\sqrt{y+2014}}-\frac{x-y}{\sqrt{2015-y}+\sqrt{2015-x}}+\frac{x-y}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)\left( \frac{1}{\sqrt{x+2014}+\sqrt{y+2014}}-\frac{1}{\sqrt{2015-y}+\sqrt{2015-x}}+\frac{1}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}\right)=0\)

Ta thấy:

$0< \sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}< \sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}$

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}-\frac{1}{\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}}>0\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x+2014}+\sqrt{y+2014}}+\frac{1}{\sqrt{2014-x}+\sqrt{2014-y}}-\frac{1}{\sqrt{2015-x}+\sqrt{2015-y}}>0\) nên biểu thức này khác $0$

Do đó $x-y=0\Rightarrow x=y (2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $x=y$

Answer 6

hãy cho biết kí hiệu đơn vị và dụng cụ đo các đại lượng độ dài thể tích khối lượng lực trọng lượng

 

Answer 7

Cảm ơn tất cả mọi người