ĐK: \(x>0\).

a)\(A=\dfrac{x^2+x+1}{x-\sqrt{x}+1}-2\sqrt{x}-1\)

\(A=\dfrac{x^2+x+1-\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{-2x\sqrt{x}+x^2+3x-2\sqrt{x}-x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{-2x\sqrt{x}+x^2+2x-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\)

b)Với x>1 thì A>0 nên |A|=A do đó A-|A|=0.

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(P=ax^m+\frac{b}{x^n}=\frac{a}{n}x^m+\frac{a}{n}x^m+...+\frac{a}{n}x^m+\frac{b}{mx^n}+...+\frac{b}{mx^n}\)

\(=(m+n)\sqrt[m+n]{(\frac{a}{n})^n.x^{mn}.(\frac{b}{m})^m.\frac{1}{x^{mn}}}\)

\(=(m+n)\sqrt[m+n]{\frac{a^nb^m}{n^n.m^m}}\)

b, Ta có : \(0\le x\le1\)

\(\Rightarrow-2\le x-2\le-1< 0\)

Ta có : \(y=f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\dfrac{m\left(x-2\right)}{\left(2-x\right)}\)

\(=2\left(m-1\right)x-m< 0\)

TH1 : \(m=1\) \(\Leftrightarrow m>0\)

TH2 : \(m\ne1\) \(\Leftrightarrow x< \dfrac{m}{2\left(m-1\right)}\)

Mà \(0\le x\le1\)

\(\Rightarrow\dfrac{m}{2\left(m-1\right)}>1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m-2\left(m-1\right)}{2\left(m-1\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2-m}{m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow1< m< 2\)

Kết hợp TH1 => m > 0

Vậy ...
 

\(x^2-2\left(m-1\right)x-m^3+\left(m+1\right)^2=0\)

Để pt có hai nghiệm thỏa mãn

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\x_1+x_2=2\left(m-1\right)\le4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\left(m-2\right)\left(m+2\right)\ge0\\m\le3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left[-2;0\right]\cup\left(2;+\infty\right)\cup\left\{2\right\}\\m\le3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m\in\left[-2;0\right]\cup\left[2;3\right]\)

\(P=x^3_1+x_2^3+x_1x_2\left(3x_1+3x_2+8\right)\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+3x_1x_1\left(x_1+x_2\right)+8x_1x_2\)

\(=8\left(m-1\right)^3+8\left(-m^3+m^2+2m+1\right)\)

\(=-16m^2+40m\)

Vẽ BBT với \(f\left(m\right)=-16m^2+40m\) ;\(m\in\left[-2;0\right]\cup\left[2;3\right]\)

Tìm được \(f\left(m\right)_{min}=-144\Leftrightarrow m=-2\)

\(f\left(m\right)_{max}=16\Leftrightarrow m=2\)

\(\Rightarrow P_{max}=16;P_{min}=-144\)

Vậy....

với đk 0 ≤ x # 1, biểu thức đã cho xác định 

P = (x+2)/(x√x-1) + (√x+1)/(x+√x+1) - (√x+1)/(x-1) 

P = (x+2)/ (√x-1)(x+√x+1) + (√x+1)/ (x+√x+1) - 1/(√x-1) {hđt: x-1 = (√x-1)(√x+1)} 

P = [(x+2) + (√x+1)(√x-1) - (x+√x+1)] / (x√x-1) 

P = (x-√x)/(x√x-1) = (√x-1)√x /(√x-1)(x+√x+1) 

P = √x / (x+√x+1) 
- - - 
ta xem ở trên là biểu thức rút gọn của P, để chứng minh P < 1/3 ta biến đổi tiếp: 

P = 1/ (√x + 1 + 1/√x) 

bđt côsi: √x + 1/√x ≥ 2 ; dấu "=" khi x = 1 nhưng do đk xác định nên ko có dấu "=" 

vậy √x + 1/√x > 2 <=> √x + 1 + 1/√x > 3 <=> P = 1/(√x + 1 + 1/√x) < 1/3 (đpcm) 

a: Khi m=-1 thì phương trình sẽ là:

x^2-(-3-1)x+2-1-1=0

=>x^2+4x=0

=>x=0 hoặc x=-4

a: \(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4m\left(m+3\right)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2-12m\)

\(=-8m+1\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

\(\Leftrightarrow-8m+1>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-1\)

hay \(m< \dfrac{1}{8}\)

ĐK:x>0

a) \(I=\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+1-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}+1-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}+1-\left(2\sqrt{x}+1\right)=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+1-2\sqrt{x}-1=x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}=x-\sqrt{x}\)b)

Ta có \(I=2\Leftrightarrow x-\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-2\left(\sqrt{x}+1\right)=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1=0\\\sqrt{x}-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=-1\left(ktm\right)\\\sqrt{x}=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

Vậy x=4 thì I=2

c)

Ta có x>1\(\Leftrightarrow x>\sqrt{x}\Leftrightarrow x-\sqrt{x}>0\)

Vậy \(I-\left|I\right|=x-\sqrt{x}-\left|x-\sqrt{x}\right|=x-\sqrt{x}-\left(x-\sqrt{x}\right)=0\)

d)\(I=x-\sqrt{x}=x-2\sqrt{x}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)

Ta có \(\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow I\ge\dfrac{1}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)

Vậy GTNN của I là \(\dfrac{1}{4}\) và xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{4}\)

Nguyễn Việt Lâm

@Nguyễn Việt Lâm @Nguyễn Thanh Hằng

@Akai Haruma @DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

@Nguyễn Huy Tú @Arakawa Whiter

Mọi người ơi giúp em với ạ !!

Cách làm đơn giản nhất:

Do \(\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)\Rightarrow F'\left(x\right)=f\left(x\right)\)

Ta có: \(F\left(x\right)=A\sqrt{1-x^3}+\dfrac{B}{1+\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow F'\left(x\right)=\dfrac{A\left(-3x^2\right)}{2\sqrt{1-x^3}}+B.\left(-\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}\right)\)

\(\Rightarrow F'\left(x\right)=\dfrac{-3A}{2}.\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^3}}-\dfrac{B}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)^2}=f\left(x\right)\)

Đồng nhất hệ số ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-3A}{2}=1\\\dfrac{-B}{2}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=\dfrac{-2}{3}\\B=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A+B=-\dfrac{8}{3}\)