Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R.Gọi C là trung điểm AO ,vẽ tia Cx vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tạiI.lấy K là điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I),tia AK cắt nửa đường tròn tâm O tại M ,tia BM cắt tia Cx tại D .Vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O)tại M cắt Cx tại N .a Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác cân .b, tính diện tích tam giác ABD theo r khi K là trung điểm của đồ thị C khi có cây đoạn thẳng CI.c, Khi K di động trên đoạn thẳng CI. chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua điểm cố định thứ hai khác A

Cho tam giác nhọn ABC( AB lớn hơn AC ),đường phân giác AD (D thuộc BC). Các điểm Evà F lần lượt chuyển động trên các cạnh AB và AC sao cho AE = CF .Trên cạnh BC lấy các điểm P và Q sao cho P và Q cùng song song với AD.a,So sánh độ dài hai đoạn thẳng PB và QE .b,Chứng minh trực tâm G của hai của tam giác AEF thuộc một đường thẳng cố định

Với x,y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

( y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\(\le\) xyz

Cho tam giác đều ABC có O là trung điểm của cạnh BC, một góc xOy bằng 60 độ có Ox cắt AB tại M, Y cắt AC tại N .Chứng minh rằng:

a, M và N lần lượt là các tia phân giác của các góc BMN và MNC.

b, Đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi góc quay xung quanh O sao cho các tia Ox và Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC

Cho đoạn thẳng AB =a cố định và một điểm M di động trên đoạn AB (M khác A và B ).Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ta dựng các hình vuông AMCD và MBEF.Hai đường thẳng AB và BC cắt nhau tại N. a ,Chứng minh AF vuông góc với BC suy ra điểm N nằm trên hai đường tròn ngoại tiếp của các hình vuông AMCD và MBFE b,Chứng minh ba điểm D,N, E thẳng hàng và MN vuông góc với DE. c,Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn AB thì các đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định .d, Tìm vị trí của M sao cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất

Cho hai đường thẳng xx'và yy' vuông góc với nhau tại A. Một đường tròn có bán kính R không đổi và tâm O của nó di chuyển trên tia Ax .Một đường tròn bán kính ACcó tâm C nằm trên tia Ay luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O tại M.

a, Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong tại điểm M của hai đường tròn cắt đường thẳng yy' tại một điểm I cố định

b, Gọi OA=d; AC=x.Tính x theo R và d

c, Với giá trị nào của d thì hai đường tròn có bán kính bằng nhau .Trong trường hợp này, tính cosOCA, suy ra góc OCA?

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2a (a là độ dài cjo trước). Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại một điểm P (P khác A và B) cắt hai tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn lần lượt tại M và N.

a, Chứng minh hệ thức AM.BN =a^2

b, Chứng minh rằng MN có độ dài nhỏ nhất khi M= Nxác định vị trí của P trong trường hợp này

c, xác định vị trí của các điểm M trên Ax và N trên để chu vi hình thang AMPN bằng 7a

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a, AC=b, AB=c; về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng hai nửa đường tròn có đường kính AB,AC. Mộtbcats tuyến di động qua A cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D và cắt đường tròn đường kính AC tại E.

a,Chứng tỏ rằng tứ giác BDEC là hình thang vuông và trung điểm O của BC cách đều D và E

b, Khi cát tuyến quay xung quanh A thì trung điểm M của DE di chuyển trên đường nào

c, Gọi P là chu vi của tứ giácBDEC. Tìm giá trị lớn nhất của P theo a, b, c

Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=\(\dfrac{a+b}{abc}\)