\(GT\Leftrightarrow\left(4x^2+y^2+z^2-2.2x.y-2.2x.z+2yz\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(z^2-10z+25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y-z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=0\)

Xét thấy \(VT\)\(\ge\)\(0\) với mọi x,y,z

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(2x-y-z=0;y-3=0;z-5=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=4;y=3;z=5 \)

Thay x,y,z vào S ta được: \(S=(-1)^{2025}+1^{2027}=0\)

Vậy S=0

Có \(h_1+h_2=30\left(cm\right)\) ( Với h₁; h₂  là chiều cao của hai hình chóp tam giác đều, chung đáy), mà ba hình chóp này đều bằng nhau)

\(\Rightarrow\)\(2h_1=30\) 

\(\Rightarrow\) \(h_1=15(cm)\)

Ta có: \(V=V_1+V_2+V_3=3V_1\)( Vì ba hình chóp này có cùng chiều cao và diện tích đáy nên thể tích bằng nhau)

\(=3.\)\(\left(\dfrac{1}{3}.h_1.S_1\right)=h_1.S_1=15.35=525\)\((cm^3)\)

Vậy thể tích hình khối là 525 cm³

a) \(A=-6\left(2x^2+xy-\dfrac{1}{3}y^2\right)+7x^2=-6B+7x^2\)

\(\Rightarrow A+6B=7x^2\)

Có \(7x^2\ge0\forall x\Rightarrow A+6B\ge0\)

Nếu  \(A<0, B<0 \Rightarrow A+6B<0\) ( ngược với chứng minh trên)

Suy ra A và B không thể cùng nhận giá trị âm

b) Không rõ đề

a) Có M; N lần lượt là trung điểm của AF; AB 

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác AFB

\(\Rightarrow MN//BF\); \(MN=\)\(\dfrac{1}{2}BF\) (1)

Chứng minh tương tự: \(RQ//EC;\) \(RQ=\dfrac{1}{2}EC\) (2) (do RQ là đường trung bình của tam giác DEC)

Các góc trong hình lục giác đều có số đo bằng \(120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{D}=120^0\)

Tam giác AFB và DEC cân tại A và D \(\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{ABF}=\widehat{DEC}=\widehat{DCE}E=30^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BFE}=\widehat{FBC}=\widehat{FEC}=\)\(120^0-30^0=90^0\)

Suy ra FBCE là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)

\(\Rightarrow FB//EC\); \(FB=EC\) (3)

Từ (1)(2)(3) \(\Rightarrow MN//RQ\), \(MN=RQ\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{RQ}\left(dpcm\right)\)

b) Làm tương tự ý a.

Gọi chiều dài mảnh vườn là a (0<a<50) (m)

Chiều rộng mảnh vườn là: \(100:2-a=50-a \) \(\left(m\right)\)
Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: \(a\left(50-a\right)\) \((m^2)\)

Chiều rộng mảnh vườn sau khi tăng thêm 3m là: \(a+3\)\((m)\)

Chiều dài mảnh vườn sau khi giảm đi 4m là: \(50-a-4=46-a\)\((m)\)

Diện tích mới của mảnh vườn là: \(\left(a+3\right)\left(46-a\right)\)\((m^2)\)

Theo giả thiết, diện tích mảnh vườn giảm đi \(2m^2\), ta có phương trình:

\(a(50-a)-(a+3)(46-a)=2\)

\(\Leftrightarrow\)\(7a-138=2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a=20\)\((m)\) (tm)

Diện tích vườn ban đầu là \(20(50-20)=600\)\(m^2 \).

Thì để hàm số \(f\left(t\right)\ge0\) với mọi \(t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow0\le\min\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\)

\(f'\left(x\right)=6x^2-6\left(2m+1\right)x+6m\left(m+1\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^2-x\left(2m+1\right)+m\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=m\\x=m+1\end{matrix}\right.\)

NX: Hàm f(x) đồng biến trên \(\left(-\infty;m\right);\left(m+1;+\infty\right)\)

Để hàm đb trên \(\left(2;+vc\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2;+\infty\right)\subset\left(m+1;+\infty\right)\)

\(\Leftrightarrow m+1\le2\)\(\Leftrightarrow m\le1\)

Vậy có một số nguyên dương m.

Ùi ôi,có tên t kìa ngầu wa ^.^

\(A=x^2-x+\dfrac{9}{2x}+4=x^2-3x+\dfrac{9}{4}+2x+\dfrac{9}{2x}+\dfrac{7}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+2x+\dfrac{9}{2x}+\dfrac{7}{4}\)

Áp dụng AM-GM có: \(2x+\dfrac{9}{2x}\ge2\sqrt{2x.\dfrac{9}{2x}}=6\)

Có \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+2x+\dfrac{9}{2x}+\dfrac{7}{4}\ge0+6+\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow A\ge\dfrac{31}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\dfrac{31}{4}\) tại \(x=\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-b-c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a-b-c\right)=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)\(\Leftrightarrow a^2-ab-ac+ab-b^2-bc+ac-bc-c^2=a^2-ab+ac+ab-b^2+bc-ac+bc-c^2\)

\(\Leftrightarrow4bc=0\) \(\Leftrightarrow bc=0\)

\(\Rightarrow D=0\)