1.tốc độ tb =\(\dfrac{s}{t}\)=\(\dfrac{s_1+s_2+...+s_n}{t_1+t_2+...+t_n}\)

2.vận tốc tb = độ dời/ khoảng tg=\(\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\)

3.nửa quãng đg=\(\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\)

4.nửa tg=\(\dfrac{v_1+v_2}{2}\)

5.1+2+3+...+n=\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

7.pt chuyển động x=x₀+s=x₀+vt

8.ptcđ của A: x_a = x_o + v_at, B: x_b = x'₀ + v_bt

Source of Question: Câu hỏi của Hiếu Cao Huy - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Xét pt (1): \(\Delta=b^2-4ac\)

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\); \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Xét pt (2) : \(\Delta=b^2-4ac\)

\(y_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2c}\) ; \(y_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2c}\)

Thay vào M:

\(M=\dfrac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2}+\dfrac{\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2}+\dfrac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4c^2}+\dfrac{\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4c^2}\)

\(=\dfrac{b^2-2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4a^2}+\dfrac{b^2+2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4a^2}+\dfrac{b^2-2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4c^2}+\dfrac{b^2+2b\sqrt{\Delta}+\Delta}{4c^2}\)

\(=\dfrac{2b^2+2\Delta}{4a^2}+\dfrac{2b^2+2\Delta}{4c^2}=\dfrac{b^2+\Delta}{2a^2}+\dfrac{b^2+\Delta}{2c^2}=\dfrac{b^2c^2+\Delta c^2}{2a^2c^2}+\dfrac{a^2b^2+\Delta a^2}{2a^2c^2}\)

\(=\dfrac{b^2\left(a^2+c^2\right)+\Delta\left(a^2+c^2\right)}{2a^2c^2}=\dfrac{\left(b^2+\Delta\right)\left(a^2+c^2\right)}{2a^2c^2}=\dfrac{\left(b^2+b^2-4ac\right)\left(a^2+c^2\right)}{2a^2c^2}\)

\(=\dfrac{\left(2b^2-4ac\right)\left(a^2+c^2\right)}{2a^2c^2}=\dfrac{\left(b^2-2ac\right)\left(a^2+c^2\right)}{a^2c^2}=\dfrac{a^2b^2-2a^3c+b^2c^2-2ac^3}{a^2c^2}\)

\(=\dfrac{a^2b^2}{a^2c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2c^2}-\dfrac{2a^3c}{a^2c^2}-\dfrac{2ac^3}{a^2c^2}=\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2a}{c}-\dfrac{2c}{a}\)

\(=\left(\dfrac{b^2}{c^2}-\dfrac{2ac}{c^2}\right)+\left(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\right)=\dfrac{b^2-2ac}{c^2}+\dfrac{b^2-2ac}{a^2}\)

\(=\left(b^2-2ac\right)\left(\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}\right)\)

Thanks a lots for your answering ^^!

Hiếu Cao Huy: Wait together!

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(n\rightarrow+\infty\)

a) \(a_n=\dfrac{2n-3n^3+1}{n^3+n^2}\)

b) \(b_n=\dfrac{3n^3-5n+1}{n^2+4}\)

c) \(c_n=\dfrac{2n\sqrt{n}}{n^2+2n-1}\)

d) \(d_n=\dfrac{\left(2-3n\right)^3\left(n+1\right)^2}{1-4n^5}\)

e) \(u_n=2^n+\dfrac{1}{n}\)

f) \(v_n=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{\pi}\right)^n+\dfrac{3^n}{4^n}\)

g) \(u_n=\dfrac{3^n-4^n+1}{2.4^n+2^n}\)

h) \(v_n=\dfrac{\sqrt{n^2+n-1}-\sqrt{4n^2-2}}{n+3}\)

Vòng 1 đến đây là kết thúc ! Cảm ơn các bạn đã tham gia cuộc thi của mình . Sau đây là 31 bạn xuất sắc nhất được chọn vào vòng 2 .

1 . Soyeon_Tiểubàng giải +1 điểm vào vòng 2

2 . Hoàng Thảo Linh + 0,75đ vào vòng 2

3 . Truy Kích + 0,75đ vào vòng 2

4. Shinichi Kudo + 0,75đ vào vòng 2

5 . Nguyễn Xuân Tiến 24 + 0,75đ vào vòng 2

6 . Nhật Minh + 0,75đ vào vòng 2

7 . Phạm Phương Anh + 0,75đ vào vòng 2

8 . Ngô Tấn Đạt + 0,75đ vào vòng 2

9 . Hà Linh + 0,75đ vào vòng 2

10 . Nguyễn Thị Hồng Nhung + 0,75đ vào vòng 2

11 . Nhã Doanh + 0,75đ vào vòng 2

12 . Aki Tsuki + 0,75đ vào vòng 2

13 . nguyen thi vang + 0,5đ vào vòng 2

14 . kuroba kaito + 0,5đ vào vòng 2

15 . Luân Đào + 0,5đ vào vòng 2

16 . Diệp Băng Dao + 0,5đ vào vòng 2

17 . Nguyễn Công Tỉnh + 0,5đ vào vòng 2

18 . Hiếu Cao Huy + 0,5đ vào vòng 2

19 . Ngô Thanh Sang + 0,5đ vào vòng 2

20 . Dương Nguyễn + 0,5đ vào vòng 2

21 . Phùng Khánh Linh + 0,5đ vào vòng 2

22 . hattori heiji + 0,5đ vào vòng 2

23 . Feed Là Quyền Công Dân + 0,25đ vào vòng 2 .

24 . Phạm Ánh Tuyết + 0,25đ vào vòng 2

25 . Trần Quốc Lộc + 0,25đ vào vòng 2

26 . Cold Wind + 0,25đ vào vòng 2

27 . Mysterious Person + 0,25đ vào vòng 2

28 . Tâm Trần Huy + 0,25đ vào vòng 2

29 . Mến Vũ + 0,25đ vào vòng 2

30 . Kim Tuyến + 0,25đ vào vòng 2

31 . Bastkoo+ 0,25đ vào vòng 2

Cảm ơn những bạn còn lại dù rằng không được vào vòng 2 nhưng các bạn đã cố gắng hết sức và mình còn năm sau nữa nhé ^^ . Nhờ thầy phynit tặng 31 bạn trên mỗi bạn 3GP ạ .

ĐÁP ÁN VÒNG 1 . Cuộc Thi Toán do Dương Phan Khánh Dương tổ chức .

Bài 1 :

a ) ĐKXĐ \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne4\\x\ne9\end{matrix}\right.\)

b )

\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\times\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}\right)}\)

c )

\(P< O\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\sqrt{x}}< 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}-2< 0\) ( Vì \(x>0\) ) \(\Leftrightarrow x< 4\)

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có : \(x\in\left\{1;2;3\right\}\)thì \(P< 0\)

d )

Ta có : \(\dfrac{1}{P}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1+3-2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-4\)

Theo BĐT Cô-Si cho 2 số không âm ta có :

\(\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\ge2\sqrt{\sqrt{x}+1\times\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}}=2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-4\ge2\sqrt{3}-4\) Hay \(\dfrac{1}{P}\ge2\sqrt{3}-4\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=4-2\sqrt{3}\\\sqrt{x}+1=-\sqrt{3}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của \(\dfrac{1}{P}\) là \(2\sqrt{3}-4\) . Dấu \(''="\) xảy ra khi \(x=4-2\sqrt{3}\)

Bài 2 :

a )

\(A=x^2-2xy+y^2+4x-4y+5\)

\(=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)+4-9\)

\(=\left(x-y+2\right)^2-3^2\)

\(=\left(x-y-1\right)\left(x-y+5\right)\)

b )

\(P=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)

\(=x^4+x^3+x^3+x^2+x^2+x+x+1\)

\(=x^2\left(x^2+x+1\right)+x\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(=\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]^2\)

Do \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]^2\ge\dfrac{9}{16}\)

Vậy GTNN của P là \(\dfrac{9}{16}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=-\dfrac{1}{2}\)

c )

\(Q=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1\)

\(=x^6+2x^5+x^4+x^4+2x^3+x^2+x^2+x+x+1\)

\(=x^2\left(x^4+2x^3+x^2\right)+\left(x^4+2x^3+x^2\right)+x+2\)

\(=x^2\left(x^2+x\right)^2+\left(x^2+x\right)^2+x+2\)

\(=x^2+x+3=4\)

Bài 3

\(2xy+x+y=83\)

\(\Leftrightarrow4xy+2x+2y=166\)

\(\Leftrightarrow4xy+2x+2y+1=167\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)=167\)

Ta có : \(Ư\left(167\right)=-167;-1;1;167\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x+1=-167\\2y+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-84\\y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x+1=167\\2y+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=83\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy các cặp x , y gồm : \(\left(x;y\right)=\left(-84;1\right)\) và hoán vị . \(\left(x;y\right)=\left(83;0\right)\) và hoán vị .

b )

Ta có :

\(y^2+2xy-3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2+3x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

VT là một số chính phương . VP là tích 2 số nguyên liên tiếp . Hai vế bằng nhau khi VP phải bằng 0 .

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy ..........................

Bài 4 :

Kẻ \(AK\perp BC\left(K\in BC\right)\)

Gọi H là giao điểm của AK và DE . Theo bài ra ta có :

\(\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow\) \(\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{4}{5}\)

Vì DE//BC nên theo hệ quả của định lý ta-léc độ dài 3 cạnh của tam giác ADE sẽ tương ứng với độ dài 3 cạnh tam giác ABC

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AH}{AK}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}\)

\(\Rightarrow S_{BDEC}=\dfrac{9}{25}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{25}{9}.S_{BDEC}=\dfrac{25}{9}.36=100cm^2\)

Vậy ....................

Bài 5 :

GTNN :

\(B=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\dfrac{3\left(x^2+x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{x^2-x+1+2x^2+4x+2}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\)

Ta có : \(\left(x+1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\) và \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(MIN_B=\dfrac{1}{3}\) khi \(x=-1\)

+ GTLN

\(B=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=\dfrac{3\left(x^2-x+1\right)-2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}=3-\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\)

Do \(\left(x-1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\) và \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow3-\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\le3\)

Vậy \(MAX_B=3\) khi \(x=1\)