Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Anh Phạm Xuân

Cho a,b,c >0 và a+b+c = abc. Tìm Max

\(S=\dfrac{a}{\sqrt{cb\left(1+a^2\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ac\left(1+b^2\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

Tinh Lãm
14 tháng 10 2018 lúc 21:24

Ta có: bc(a2+1) = (a+b)(a+c)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}\) =\(\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}.\sqrt{\dfrac{a}{a+c}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si: \(\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}.\sqrt{\dfrac{a}{a+c}}\) \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}\) \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)

CMTT: \(\dfrac{b}{\sqrt{ac\left(1+b^2\right)}}\) \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}\right)\)

\(\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\) \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{c+b}\right)\)

\(\Rightarrow\) S \(\le\) \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b+a}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{c+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow\) S\(\le\) \(\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\)

Vậy Smax = \(\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\a+b+c=abc\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\sqrt{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Tuyển Trần Thị
Xem chi tiết
Linh Le Thuy
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Anh Pha
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Nguyễn Võ Thảo VY
Xem chi tiết