# Bài 1: Giới hạn của dãy số

Xem chi tiết
Xem chi tiết
4 tháng 5 2016 lúc 20:41

$L=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)+\left(x^2-1\right)+\left(x^3-1\right)+\left(x^4-1\right)+\left(x^5-1\right)+\left(x^6-1\right)}{\left(x-1\right)+\left(x^2-1\right)+\left(x^3-1\right)+\left(x^4-1\right)+\left(x^5-1\right)}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left[1+\left(x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)+...+\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)\right]}{\left(x-1\right)\left[1+\left(x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)+...+\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)\right]}$

$=\lim\limits_{1\rightarrow x}\frac{1+\left(x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)+.....+\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)}{1+\left(x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)+.....+\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)}$

$=\frac{1+2+....+6}{1+2+....+5}=\frac{\frac{6\left(5+1\right)}{2}}{\frac{5\left(5+1\right)}{2}}=\frac{7}{5}$

Xem chi tiết
4 tháng 5 2016 lúc 20:56

Ta có $\frac{x^n-nx+n-1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\left(x^n-1\right)-n\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-1}+....+x+1-n\right)}{\left(x-1\right)^2}$  (1)

Từ (1) suy ra :

$L=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^{n-1}+x^{n-2}+.....+x-\left(n-1\right)}{x-1}$ (2)

$L=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\left(x^{n-1}-1\right)+\left(x^{n-2}-1\right)+.....+\left(x-1\right)}{x-1}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left[\left(x^{n-1}+x^{n-3}+.....+x+1\right)+.....+\left(x+1\right)+1\right]}{x-1}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left[1+\left(x+1\right)+....+\left(x^{n-2}+x^{n-3}+.....+x+1\right)\right]$

$=1+2+....+\left(n-1\right)=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$

Xem chi tiết
4 tháng 5 2016 lúc 21:34

$L=\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{\tan^3x-3\tan x}{\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{\tan x\left(\tan^2x-3\right)}{\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}$

$=\sqrt{3}\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{\left(\tan x-\sqrt{3}\right)\left(\tan x+\sqrt{3}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}=\sqrt{3}.2\sqrt{3}\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{\tan x-\sqrt{3}}{\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}$

$=6\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}{\cos x.\cos\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}=-12\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\cos x}=-24$

Xem chi tiết
4 tháng 5 2016 lúc 21:46

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton, ta có :

$\left(1+mx\right)^n=1+C_n^1\left(mx\right)+C_n^2\left(mx\right)^2+.....C_n^n\left(mx\right)^n$

$\left(1+nx\right)^m=1+C_m^1\left(nx\right)+C_m^2\left(nx\right)+....+C_m^m\left(nx\right)^m$

Mặt khác ta có : $C_n^1\left(mx\right)=C_n^1\left(nx\right)=mnx$

$C_n^2\left(mx\right)^2=\frac{n\left(n-1\right)}{2}m^2x^2;C_m^2\left(nx\right)^2=\frac{m\left(m-1\right)}{2}n^2x^2;$

Từ đó ta có :

$L=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left[\frac{n\left(n-1\right)}{2}m^2-\frac{m\left(m-1\right)}{2}n^2\right]x^2+\alpha_3x^3+\alpha_4x^4+....+\alpha_kx^k}{x^2}\left(2\right)$

Từ (2) ta có : $L=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left[\frac{mn\left(n-m\right)}{2}+\alpha_3x+\alpha_4x^2+....+\alpha_kx^{k-2}\right]=\frac{mn\left(n-m\right)}{2}$

Xem chi tiết
7 tháng 5 2016 lúc 14:20

2, $\mathop {\lim }\limits\frac{1+2+2^2+...+2^n}{1+3+3^2+...+3^n}=\mathop {\lim }\limits\frac{\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}}{\dfrac{3^{n+1}-1}{3-1}}=2.\mathop {\lim }\limits\dfrac{2^{n+1}-1}{3^{n+1}-1}=2.\mathop {\lim }\limits\frac{\left (\dfrac{2}{3} \right )^{n+1}-\dfrac{1}{3^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{3^{n+1}}}=2.0=0$

7 tháng 5 2016 lúc 14:23

Câu 2:

11 tháng 5 2016 lúc 20:34

Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
6 tháng 2 2017 lúc 0:44

Đề bài không rõ ràng. n ở đây là tự nhiên, nguyên hay là chơi luôn cả R