Hummmm

Dạ em không biết ạ,tại vì em mới học lớp 4 ạ,em xin lỗi ạ

1.

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{3+\sqrt{41}}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1+2\sqrt{x\left(x^2-1\right)}=2x^2-3x-4\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-3-2\sqrt{\left(x^2-x\right)\left(x+1\right)}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-x}=a>0\\\sqrt{x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2-3b^2-2ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=3b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x}=3\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x=9\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow...\) (bạn tự hoàn thành nhé)

2.

ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a\ge0\) pt trở thành:

\(x^3+3\left(x^2-4a^2\right)a=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3ax^2-4a^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+2a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=x\\2a=-x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=x\left(x\ge0\right)\\2\sqrt{x+1}=-x\left(x\le0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=x+1\\x^2=4x+4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x-1=0\\x^2-4x-4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=2-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Câu 4:

Giả sử điều cần chứng minh là đúng

\(\Rightarrow x=y\), thay vào điều kiện ở đề bài, ta được:

\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}\) (luôn đúng)

Vậy điều cần chứng minh là đúng

2) \(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)

⇔ \(\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}-2\sqrt{x-4}+2\sqrt{x+5}-\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}=0\)

⇔ \(\sqrt{x-4}.\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{x+5}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}=0\\\sqrt{x-1}-2=0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}=\sqrt{x+5}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=5\end{matrix}\right.\)

⇔ x = 5

Vậy S = {5}

Bài 1:

ĐKĐB suy ra $x(x+1)+y(y+1)=3x^2+xy-4x+2y+2$

$\Leftrightarrow 2x^2+x(y-5)+(y-y^2+2)=0$

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$

$\Delta=(y-5)^2-4(y-y^2+2)=(3y-3)^2$Do đó:

$x=\frac{y+1}{2}$ hoặc $x=2-y$. Thay vào một trong 2 phương trình ban đầu ta thu được:

$(x,y)=(\frac{-4}{5}, \frac{-13}{5}); (1,1)$

\(a,\Leftrightarrow x^2+2x+1+2x+3-2\sqrt{2x+3}+1=0\\ \Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(\sqrt{2x+3}-1\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\2x+3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1\left(N\right)\)

\(b,\Leftrightarrow3x^2+3x-2\sqrt{x^2+x}=0\left(x\le-1;x\ge0\right)\\ \Leftrightarrow3x\left(x-1\right)-2\sqrt{x\left(x+1\right)}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x\left(x+1\right)}\left(3\sqrt{x\left(x-1\right)}-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\left(x-1\right)=0\\\sqrt{x\left(x-1\right)}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x^2-x-\dfrac{4}{9}=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\9x^2-9x-4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta\left(1\right)=81-4\left(-4\right)\cdot9=225\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=\dfrac{9-15}{18}\\x=\dfrac{9+15}{18}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(N\right)\\x=1\left(N\right)\\x=-\dfrac{1}{3}\left(L\right)\\x=\dfrac{4}{3}\left(N\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

1.

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3x+\left(x+1-\sqrt{3x+1}\right)+\left(x+2-\sqrt{5x+4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2-x\right)+\dfrac{x^2-x}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{x^2-x}{x+2+\sqrt{5x+4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)\left(3+\dfrac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

2.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2x=a\\\sqrt[3]{2-8x^3}=b\end{matrix}\right.\)

Ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2a-1\right)b=a\\a^3+b^3=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2ab\\\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow8\left(ab\right)^3-6\left(ab\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left[4\left(ab\right)^2+ab+1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow ab=1\Rightarrow a+b=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\ab=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow2x=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

a) \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 1}  = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}3{x^2} - 4x - 1 = 2{x^2} - 4x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 2\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả 2 giá trị x=2; x=-2 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;2} \right\}\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3}  = \sqrt { - 2{x^2} + 5} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 =  - 2{x^2} + 5\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = \frac{4}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có giá trị \(x = \frac{4}{3}\) thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(x = \frac{4}{3}\)

c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 3}  = \sqrt { - {x^2} - x + 1} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x - 3 =  - {x^2} - x + 1\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả 2 giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm

d) \(\sqrt { - {x^2} + 5x - 4}  = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l} - {x^2} + 5x - 4 =  - 2{x^2} + 4x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x =  - 3\) hoặc \(x = 2\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x=2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

a. ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2x}=a>0\\\sqrt{2x-1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a+b=\sqrt{3a^2-b^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=3a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab-b^2=0\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}b\right)\left(a+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}b\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\sqrt{2x-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(\sqrt{5}+1\right)x+\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

b. ĐKXĐ: \(x\ge5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5x^2+14x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5\sqrt{x+1}\)

\(\Leftrightarrow5x^2+14x+9=x^2-x-20+25\left(x+1\right)+10\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-5\right)\left(x+4\right)}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5x+2=5\sqrt{\left(x^2-4x-5\right)\left(x+4\right)}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-4x-5}=a\ge0\\\sqrt{x+4}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a^2+3b^2=5ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a-3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-4x-5}=\sqrt{x+4}\\2\sqrt{x^2-4x-5}=3\sqrt{x+4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-4x-5=x+4\\4\left(x^2-4x-5\right)=9\left(x+4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

a) Bình phương hai vế ta được

\(2{x^2} - 3x - 1 = 2x - 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x +2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \(2x - 3 \ge 0\) thì chỉ \(x=2\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{2 \right\}\)

b) Bình phương hai vế ta được

\(\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \({x^2} - 6 \ge 0\) thì thấy chỉ có nghiệm \(x = 2\)thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\)

c) \(\sqrt {x + 9}  = 2x - 3\)(*)

Ta có: \(2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của (*) ta được:

\(\begin{array}{l}x + 9 = {\left( {2x - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = x + 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 13x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{13}}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{13}}{4}} \right\}\)

d) \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 2}  = 2 - x\)(**)

Ta có: \(2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\)

Bình phương hai vế của (**) ta được:

\(\begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 4x - 2 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\)