đây nha bn : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/639032.html

1.

\(sinA+sinB-sinC=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-sin\left(A+B\right)\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A-B}{2}-2sin\dfrac{A+B}{2}.cos\dfrac{A+B}{2}\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.\left(cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right)\)

\(=2sin\dfrac{A+B}{2}.2sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}\)

\(=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}\)

Sao t lại đc như này v, ai check hộ phát

bạn áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông nha

Định lý sin đã có sẵn cần chứng minh chi nữa :))

bài này mk làm rồi ; giờ lm biến chép lại . nên bn xem trong này nha .

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/639032.html

Lời giải:

Kéo dài $OA$ cắt $(O)$ tại $D$

Do $AD$ là đường kính nên $ABD$ vuông tại $B$

\(\Rightarrow \sin \widehat{BDA}=\frac{BA}{AD}=\frac{c}{2R}\)

Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=\widehat{C}\) (cùng chắn cung AB)

Do đó \(\sin C=\sin \widehat{BCA}=\frac{c}{2R}\Leftrightarrow \frac{c}{\sin C}=2R\)

Hoàn toàn tương tự, kẻ đường kính từ B,C ta thu được:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\) (đpcm)

Ta có: A = \(sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2}=cos\dfrac{B+C}{2}+2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}\)

\(\Leftrightarrow A-2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}-cos^2\dfrac{B+C}{4}+sin^2\dfrac{B+C}{4}=0\)\(\Leftrightarrow A-2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}+2sin^2\dfrac{B+C}{4}-1=0\)

Δ' = \(cos^2\dfrac{B-C}{4}-2\left(A-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow A-1\le\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow A\le\dfrac{3}{2}\)

\(a,\) Kẻ \(BH\perp AC;CK\perp AB\)

\(\Delta ACK\) vuông tại K có \(CK=b\cdot\sin A\)

\(\Delta BKC\) vuông tại H có \(CK=a\cdot\sin B\)

\(\Rightarrow b\cdot\sin A=a\cdot\sin B\\ \Rightarrow\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\left(1\right)\)

Cmtt ta được \(a\cdot\sin C=c\cdot\sin A\left(=BH\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\)

\(b,\) Không thể suy ra đẳng thức

Kẻ AH⊥BC tại H, BK⊥AC tại K

Xét ΔAHB vuông tại H có 

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AH}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AH}{AC}\)

Ta có: \(\dfrac{\sin\widehat{B}}{\sin\widehat{C}}=\dfrac{AH}{AB}\cdot\dfrac{AC}{AH}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}\)(1)

Xét ΔABK vuông tại K có 

\(\sin\widehat{A}=\dfrac{BK}{AB}\)

Xét ΔBCK vuông tại K có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{BK}{BC}\)

Ta có: \(\dfrac{\sin\widehat{A}}{\sin\widehat{C}}=\dfrac{BK}{AB}\cdot\dfrac{BC}{BK}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{a}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{b}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}\)

Ta có : \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}bc.sinA=\dfrac{1}{2}acSinB=\dfrac{1}{2}abSinC\)

\(\Rightarrow bc.sinA=acSinB=abSinC\)

- Lấy abc chia cho cả 3 vế ta được ĐPCM

Kẻ AH⊥BC

Xét ΔABH vuông tại H có \(AH=c\cdot\sin\widehat{B}\)

Xét ΔACH vuông tại H có \(AH=b\cdot\sin\widehat{C}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{AH}{\sin\widehat{B}}\\b=\dfrac{AH}{\sin\widehat{C}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sin\widehat{B}=\dfrac{AH}{c}\\\sin\widehat{C}=\dfrac{AH}{b}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}=\dfrac{b}{\sin\widehat{B}}\)(1)

Kẻ BK⊥AC

Cm tương tự, ta được: \(\dfrac{a}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{C}}\)(2)

Từ (1), (2) suy ra đpcm

Bạn tự vẽ hình nhé

a,Kẻ BK vuông góc với AC, đặt BK = h

tam giác ABK có K vuông => sin A = h/c => a/sin A = ac/h (1)

tam giác BKC có K vuông => sin C = h/a => c/sin C = ac/h (2)

Từ (1) và (2) => a/sin A = c/sin C

CMTT có b/sinB = c/sin C

=> dpcm

b, có S_ABC = (h.b)/2

mà h = a.sinC \(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{a.sinC.b}{2}\) = \(\dfrac{1}{2}a.b.sinC\)

CMTT có \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}a.c.sinB=\dfrac{1}{2}b.c.sinA\)

=> đpcm