Chương I - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 4 :

a) Ta có :

 \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=100-36=64\)

\(\Leftrightarrow AC=8\left(cm\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\dfrac{AB^2.AC^2}{AB^2+AC^2}=\dfrac{6^2.8^2}{36+64}=\dfrac{6^2.8^2}{100}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{6.8}{10}=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có

sin C=AB/BC=3/5

nên góc C=37 độ

=>góc B=53 độ

c: ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*BE=HE^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*FC=HF^2

Xét tứ giác AEHF có

góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

AE*BE+AF*FC

=HE^2+HF^2

=EF^2

=AH^2

=HB*HC

d: \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{CH^2}\)

\(=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

 ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ BC² = AB² + AC² (Pytago)

= 6² + 8²

= 100

⇒ BC = 10 (cm)

Do CD là phân giác của ∆ABC (gt)

⇒ AD/AC = BD/BC

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

AD/AC = BD/BC = (AD + BD)/(AC + BC) = AB/(AC + BC) = 6/18 = 1/3

AD/AC = 1/3 ⇒ AD = AC . 1/3 = 8/3 (cm)

∆ACD vuông tại A

⇒ CD² = AD² + AC² (Pytago)

= (8/3)² + 8²

= 640/9

⇒ CD = 8√10/3 (cm)

a) \(sin^230^o+cos30^o.tan60^o.\dfrac{1}{sin30^o}\)

\(=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.\sqrt[]{3}.\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\)

\(=\dfrac{1}{4}+3=\dfrac{13}{4}\)

b) \(sinx.cosx=2\)

\(sin^4x+cos^4x\)

\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x\)

\(=1^2-2\left(sinx.cosx\right)^2\)

\(=1-2.2^2=-7\)

Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

=>MA=MB

Xét ΔMAB có MA=MB và góc AMB=60 độ

nên ΔMAB đều

=>MA=MB=AB=18/3=6cm

Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

=>MO là phân giác của góc AMB

=>góc AMO=góc BMO=60/2=30 độ

Xét ΔOAM vuông tại A có sin AOM=OA/OM

=>OA/6=sin30=1/2

=>OA=3(cm)

ΔOAM vuông tại A

=>OA^2+AM^2=OM^2

=>\(MA=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(S_{OAM}=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot3\sqrt{3}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\left(cm^2\right)\)

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

AM=BM

OM chung

=>ΔOAM=ΔOBM

=>\(S_{OAM}=S_{OBM}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\left(cm^2\right)\)

\(S_{OAMB}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}+\dfrac{9\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

\(F=tan^2x\left(1-sin^2x\right)=tan^2x\cdot cos^2x\)

\(=\dfrac{sin^2x}{cos^2x}\cdot cos^2x=sin^2x\)

\(F=sin^2\left(\dfrac{1}{2}\right)\simeq7,62\cdot10^{-5}\)

`F = tan^2x ( 1 - sin^2x ) = tan^2x . cos^2x = ( sin^2x ) / ( cos^2x) . cos^2x = sin^2x`

Thay `x = 1/2,` ta có :

`F = sin^2x . 1/2 ≃ 76,2 . 10^(-5)`