cho 2 pt : \(ax^2+bx+c=0\left(1\right)\) và \(cy^2+by+a=0\left(2\right)\)
gọi \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt (1), gọi \(y_1;y_2\) là nghiệm của pt (2)
tìm min của \(M=x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\)
help me @Ace Legona
Cho pt \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) t/m \(0\le x_1\le x_2\le2\).
Tìm min \(L=\dfrac{3a^2-ab+ac}{5a^2-3ab+b^2}\)
cho pt: \(ax^2+by+c=0\)
và pt: \(cx^2+by+a=0\) (a\(\ne\)c)
2 pt trên có 1 nghiệm chung duy nhất
gọi x1,x2 lần lượt là 2 nghiệm còn lại của 2 pt trên
chứng minh \(\left|x1\right|+\left|x2\right|>2\)
giúp :))))
\(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+by+c=0\\cx^2+by+a=0\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+by=-c\\cx^2+by=-a\end{matrix}\right.\)
vì pt có 1 nghiệm duy nhất
nên\(\dfrac{a}{c}\ne\dfrac{b}{b}\)⇔\(\dfrac{a}{c}\ne1\)⇔\(a\ne c\)
Mình nghĩ là sai đề
Cho pt \(ax^2+bx+c=0\) (1) và \(cx^2+bx+a=0\) (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được: \(\left(x^2-1\right)\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)(vì a khác c)
TH1: Giả sử nghiệm chung của hai pt là x=1
Thay x=1 vào (1) và (2) được: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow b=-a-c\)
Áp dụng hệ thức viet vào hai pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=-\dfrac{b}{a}\\x_2+1=-\dfrac{b}{c}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-\dfrac{b}{a}-1\\x_2=-\dfrac{b}{c}-1\end{matrix}\right.\)
Có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|>2\Leftrightarrow\left|-\dfrac{b}{a}-1\right|+\left|\dfrac{-b}{c}-1\right|>2\)
\(\Leftrightarrow\left|-\dfrac{-a-c}{a}-1\right|+\left|\dfrac{-\left(-a-c\right)}{c}-1\right|>2\)
\(\Leftrightarrow\left|\dfrac{c}{a}\right|+\left|\dfrac{a}{c}\right|>2\) \(\Leftrightarrow c^2+a^2>2\left|ac\right|\) (luôn đúng với mọi \(a\ne c\))
TH2: Giả sử x=-1 là nghiệm chung của hai pt
Thay x=-1 vào hai pt được: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b+c=0\\c-b+a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow b=a+c\)
Áp dụng viet vào hai pt có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+\left(-1\right)=-\dfrac{b}{a}\\x_2+\left(-1\right)=-\dfrac{b}{c}\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\left|-\dfrac{b}{a}+1\right|+\left|-\dfrac{b}{c}+1\right|\)
\(=\left|-\dfrac{a+c}{a}+1\right|+\left|-\dfrac{a+c}{c}+1\right|\)\(=\left|-\dfrac{c}{a}\right|+\left|-\dfrac{a}{c}\right|\)\(=\left|\dfrac{c}{a}\right|+\left|\dfrac{a}{c}\right|=\dfrac{c^2+a^2}{\left|ac\right|}>\dfrac{2\left|ac\right|}{\left|ac\right|}=2\)
Vậy...
cho pt (ẩn x): x2 - ax - 2 = 0 (*)
gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (*). tìm GT của a để biểu thức N = \(x_1^2+\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)+x_2^2\) có GTNN
Theo hệ thức Vi - ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = a\\ {x_1}{x_2} = - 2 \end{array} \right.\)
Theo đề bài, ta có:
\(\begin{array}{l} x_1^2 + \left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) + x_2^2\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ = {a^2} + 2 + 2a\\ = {\left( {a + 1} \right)^2} + 1 \ge 0 \end{array}\)
Vậy GTNN bằng 1 \(\Leftrightarrow a=-1\)
Cho \(\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\)
CMR : \(\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}\)
b) \(\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
Gọi x0 là nghiệm của pt bậc 2 : \(ax^2+bx+c=0\) và \(M=max\left\{\left|\frac{b}{a}\right|;\left|\frac{c}{a}\right|\right\}\)
CMR: \(\left|x_0\right|< M+1\)
Vì pt đã cho là pt bậc 2 \(\Rightarrow a\ne0\)
Do x0 là nghiệm \(\Rightarrow-ax_0^2=bx_0+c\)
\(\Rightarrow-x_0^2=\frac{b}{a}x_0+\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow\left|-x_0\right|^2=\left|\frac{b}{a}x_0+\frac{c}{a}\right|\le\left|\frac{b}{a}\right|\left|x_0\right|+\left|\frac{c}{a}\right|\le M\left|x_0\right|+M\)
\(\Rightarrow\left|x_0\right|^2-1< M\left(\left|x_0\right|+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(\left|x_0\right|-1\right)\left(\left|x_0\right|+1\right)< M\left(\left|x_0\right|+1\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cho a,b,c là 3 số khác 0 thỏa mãn \(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\)
CMR \(\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Bình phương ba vế suy ra \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Sau đó chứng minh tương tự bunhiacopxki
Giả sử phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) có 2 nghiệm là \(x_1\)và \(x_2\). Chứng minh rằng ta có thể phân tích \(ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)
Áp dụng định lí viet: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2\right)=a\left[\left(x^2-x_1.x\right)-\left(x_2x-x_1x_2\right)\right]\)
=\(a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)
Giải PT \(\left(ax^2+bx+c\right)\left(cx^2+bx+a\right)=0\)trong đó a, b, c là những số nguyên đã cho trước (a, c khác 0). Biết \(x=\sqrt{2}+1\)là 1 nghiệm của PT
Cho 2 số a, c thõa mãn ac < 0. Xét hai pt \(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\left(1\right)\\cx^2+bx+a=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Gọi \(\alpha\)và \(\beta\) là hai nghiệm lớn nhất của (1) và (2). CMR: \(\alpha+\beta\ge2\)