Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Thay x=3 vào y=3x-1, ta được:

\(y=3\cdot3-1=8\)

Thay x=3 và y=8 vào y=ax², ta được:

\(a\cdot3^2=8\)

=>9a=8

=>\(a=\dfrac{8}{9}\)

\(y=ax^2\) cắt \(y=3x-1\) tại điểm có hoành độ bằng 3 ⇒ x = 3 

Thay `x=3` vào \(y=3x-1\) ta có: \(y=3\cdot3-1=8\)

Thay `x=3` và `y=8` vào \(y=ax^2\) ta có:

\(8=a\cdot3^2\)

\(\Leftrightarrow9a=8\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{8}{9}\) 

Vậy: ... 

\(x^2-2mx-2m-5=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(-2m-5\right)\)

\(=4m^2+8m+20\)

\(=4m^2+8m+4+16=\left(2m+2\right)^2+16>=16>0\forall m\)

=>Phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt

TH1: m=1

Phương trình sẽ trở thành:

\(\left(1-1\right)x^2-2\left(1-4\right)x+1-5=0\)

=>6x-4=0

=>6x=4

=>\(x=\dfrac{2}{3}\) 

=>Phương trình có 1 nghiệm duy nhất

=>Loại

TH2: m<>1

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-4\right)\right]^2-4\left(m-1\right)\left(m-5\right)\)

\(=4\left(m^2-8m+16\right)-4\left(m^2-6m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-8m+16-m^2+6m-5\right)\)

\(=4\left(-2m+11\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-2m+11>=0

=>-2m>=-11

=>\(m< =\dfrac{11}{2}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2\left(m-4\right)}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-5}{m-1}\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=5\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

=>\(\dfrac{4\left(m-4\right)^2}{\left(m-1\right)^2}-\dfrac{2\left(m-5\right)}{m-1}-5=0\)

=>\(\dfrac{4\left(m-4\right)^2-2\left(m-5\right)\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)^2}-5=0\)

=>\(4\left(m^2-8m+16\right)-2\left(m^2-6m+5\right)-5\left(m-1\right)^2=0\)

=>\(4m^2-32m+64-2m^2+12m-10-5m^2+10m-5=0\)

=>\(-3m^2-10m+49=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-5+2\sqrt{43}}{3}\left(nhận\right)\\m=\dfrac{-5-2\sqrt{43}}{3}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(a\cdot c=1\cdot\left(-2\right)=-2< 0\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2\end{matrix}\right.\)

Sửa đề: \(x_1^2\cdot x_2+x_1\cdot x_2^2+7>x_1^2+x_2^2+\left(x_1+x_2\right)^2\)

=>\(x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+7>\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)^2\)

=>\(-2m+7>m^2-2\left(-2\right)+m^2\)

=>\(2m^2+4< -2m+7\)

=>\(2m^2+2m-3< 0\)

=>\(\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2}< m< \dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}\)

\(\text{Δ}=\left(2m-1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-8m+8\)

\(=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2>=0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-2m+1}{2}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2+2x_1x_2\)

\(=\dfrac{-2m+1}{2}+\dfrac{2\left(m-1\right)}{2}\)

\(=\dfrac{-2m+1+2m-2}{2}=\dfrac{-1}{2}\)

=>\(x_1+x_2+2x_1x_2\) là hệ thức cần tìm

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+5>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)

\(\left|\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2\left|x_1x_2\right|=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|=16\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-2\right)^2-2.\left(-5\right)-2.\left|-5\right|=16\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=2\\m-2=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=0\end{matrix}\right.\)

Câu a của bài này rất vô lý vì lớp 9 chưa học cách xác định nghiệm của BPT bậc 2.

\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)=m^2-12m+16\)

a.

Phương trình có 2 nghiệm pb khi:

\(m^2-12m+16>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6+2\sqrt{5}\\m< 6-2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

b.

Khi pt có 2 nghiệm, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x_1+x_2\right)=2m-4\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=-1\)

Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

Ta có pt: \(mx^2-3\left(m+1\right)x+m^2-13m-4=0\)

Do pt có nghiệm là x = -2 nên thay vào pt ta có: 

\(m\cdot\left(-2\right)^2-3\left(m+1\right)\cdot-2+m^2-13m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m+6\left(m+1\right)+m^2-13m-4=0\)

\(\Leftrightarrow6m+6+m^2-9m-4=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m+2=0\)

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot2=1>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2\\m_2=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 1 thì pt là: 

\(x^2-3\left(1+1\right)x+1^2-13\cdot1-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x-16=0\)

Theo vi-et: \(x_1+x_2=-\dfrac{-6}{1}\Rightarrow x_2=6-x_2=8\) 

Nếu m = 2 thì pt là:

\(2x^2-3\cdot\left(2+1\right)x+2^2-13\cdot2-4=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-9x-26=0\)  

Theo vi-et: \(x_1+x_2=-\dfrac{-9}{2}\Leftrightarrow x_2=\dfrac{9}{2}+2=\dfrac{13}{2}\)

\(x^2-4x-6=0\)

\(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)=16+24=40>0\)

=>Phương trình này có hai nghiệm phân biệt

Theo vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-4\right)}{1}=4;x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-6}{1}=-6\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=4^2-2\cdot\left(-6\right)=16+12=28\)

\(B=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{4}{-6}=-\dfrac{2}{3}\)

\(C=x_1^3+x_2^3\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3\cdot x_1\cdot x_2\cdot\left(x_1+x_2\right)\)

\(=4^3-3\cdot4\cdot\left(-6\right)=64+72=136\)

\(D=\left|x_1-x_2\right|\)

\(=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{4^2-4\cdot\left(-6\right)}=\sqrt{16+24}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)