Áp dụng BĐT cosi: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{xy}\\ \Leftrightarrow\sqrt{xy}\le1\\ \Leftrightarrow xy\le1\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=1\)

Áp dụng BĐT cosi:

`(y-1)+1>=2\sqrt{y-1}`

`=>\sqrt{y-1}<=y/2`

`=>x\sqrt{y-1}<=(xy)/2`

Hoàn toàn tương tự:

`\sqrt{x-1}<=x/2`

`=>y\sqrt{x-1}<=(xy)/2`

`=>x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}<=xy`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=2`

x+y = 2 => y = 2- x

=> x.y = x.(2 - x) = - x² + 2x 

Xét x.y - 1 = - x² + 2x  - 1 = (-x² + x) + (x - 1) = - x.(x - 1) + (x - 1) = (x - 1).(-x + 1) = -(x-1).(x-1) = -(x-1)² \(\le\) 0 với mọi x

=> xy - 1  \(\le\) 0 <=> x.y \(\le\) 1

đặt     x=1 + m              ;         y = 1-m thì x+y=2

ta có xy=(1+m)(1-m) = 1 - \(m^2\)< hoặc = 1( vì m^2 > hoặc = 0)(dấu = <=> x=y=1)

Vì x + y = 2 --> x =2 - y 
Ta có : xy = (2 - y) y  
= 2y - y² 
= -y² + 2y -1 + 1 
= -(y - 1)² + 1 
Vì (y - 1)² > hoặc = 0 --> -(y - 1)² < hoặc = 0(với mọi y) 
--> -(y - 1)² + 1 < hoặc = 1 (với mọi y) 
Vậy xy < hoặc = 1

(x+y)²=x²+y²+2xy . Do x²+y²-2xy=(x-y)> hoặc = 0.  => x²+ y²> hoặc =2xy.  =>4=4xy => xy< hoặc =1 . Dấu "=" sẩy ra <=>x=y=1

Câu hỏi của Kaitou Kid(Kid-sama) - Toán lớp 7 . Bạn check thử cái cách "Bài này lớp 7 dư sức giải..." nhé! Mình đọc nhiều đề thi hsg để tự luyện thấy lời giải của họ như vậy (không có chỗ dấu "=" xảy ra nha,cái chỗ này mình tự thêm) .Không biết đúng hay sai.Còn mấy cách kia là mình tự làm nhé!

Đặt x = 1 + m ; y = 1 - m thì x + y = 1 + m + 1 - m = 2

Ta có xy = (1 + m) . (1 - m) = 1 . (1 - m) + m . (1 - m) = 1 - m + m - m² = 1 - m² \(\le\) 1 (vì m² \(\ge\) 0).

Vậy suy ra điều phải chứng minh (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) x = y = 1)

X + y = 1 => ít nhất có1 số dương. 
TH1 : 1 dương , 1 âm => xy < 0 < 1 
TH2 : x > 0, y > 0 
Ta có : x + y >= 2 nhân căn của (x.y) 
Suy ra 2 >= 2 nhân căn của ( x.y ) 
Suy ra 1 >= căn của ( x.y ). 
Vây x.y =< 1

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+\frac{1}{4xy}\)

\(A\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{1}{4xy}.4xy}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(A\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=7\)

Dấu "=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Do \(x,y>0\) BĐT tương đương:

\(\dfrac{x^2+2y^2+3}{2}\ge xy+y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2y^2+3\ge2xy+2y+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2y+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh xong

Vì x,y>0 nên các mẫu thức dương.

BĐT<=>\(2\left(xy+y+1\right)\le x^2+2y^2+3\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\left(1\right)\)

(1) đúng với mọi x,y>0 nên BĐT đã cho được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=1.

Lời giải:

Để cho đẹp, đổi \((xy,yz,xz)\mapsto (a,b,c)\) suy ra \(a+b+c=1\)

BĐT cần chứng minh tương đương với :

\(A=\frac{1}{a+b+c+a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{a+b+c+b+\frac{ac}{b}}+\frac{1}{a+b+c+c+\frac{ab}{c}}\leq \frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{a}{2a^2+ab+bc+ac}+\frac{b}{2b^2+ab+bc+ac}+\frac{c}{2c^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow A=\sum \frac{a(ab+bc+ca)}{2a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9(ab+bc+ac)}{5}\)

Để ý rằng \(A=\sum \left ( a-\frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac} \right )=1-\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}\)

Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}=\sum \frac{2a^4}{2a^3+a^2b+abc+a^2c}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)+3abc}\)

Giờ đặt \(ab+bc+ac=q,abc=r\)

Phân tích:

\(2(a^3+b^3+c^3)+\sum ab(a+b)+3abc=2(a^3+b^3+c^3-3abc)+(a+b+c)(ab+bc+ac)+6abc\)

\(=2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+ab+bc+ac+6abc\)

\(=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)+6abc=2-5q+6r\)

Do đó \(A\leq 1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\). Giờ chỉ cần chỉ ra \(1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\leq \frac{9q}{5}\Leftrightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq 0\)

Theo AM-GM dễ thấy

\(q^2=(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=3r\)

Và \(1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow q\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow 9q-5<0\rightarrow 6r(9q-5)\geq 2q^2(9q-5)\) (đổi dấu)

\(\Rightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq q(3-5q)+2q^2(9q-5)=q(2q-1)(3q-1)\geq 0\)

BĐT trên hiển nhiên đúng vì \(q\leq \frac{1}{3}<\frac{1}{2}\Rightarrow (2q-1)(3q-1)\geq 0\)

Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

P/s: Làm BĐT bần cùng lắm mới xài pqr, không ngờ phải xài thật :)

Sao tag éo dc :|

Akai HarumaNguyễn Huy ThắngTrần Việt LinhHoàng Lê Bảo Ngọc