Do \(x,y>0\) BĐT tương đương:
\(\dfrac{x^2+2y^2+3}{2}\ge xy+y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+2y^2+3\ge2xy+2y+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh xong
Vì x,y>0 nên các mẫu thức dương.
BĐT<=>\(2\left(xy+y+1\right)\le x^2+2y^2+3\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\left(1\right)\)
(1) đúng với mọi x,y>0 nên BĐT đã cho được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=1.
