Áp dụng BĐT Cosi dạng engel cho 3 số dương ta có:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Ta thấy \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\)đều là số dương

Vì thế nên ta sẽ áp dụng bđt cô-si dạng engel:

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a+b+c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Giải cách khác được ko bn ơi mình chưa học BĐT Cô-si

Ta có bđt : \(\frac{m^2}{n}+\frac{p^2}{q}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)\(\left(m,n,p,q>0\right)\)(1)

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{m^2q+p^2n}{nq}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)

                       \(\Leftrightarrow m^2n\left(n+q\right)+p^2n\left(n+q\right)\ge nq\left(m+p\right)^2\)

                      \(\Leftrightarrow............\)(Phá tung ra + chuyển vế)

                      \(\Leftrightarrow\left(mq-pn\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Áp dụng (1) ta được

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(ĐPCM)

Dấu "=" khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

P/S: nếu hỏi tại sao chỗ bđt phụ lại đặt m,n,p,q khó nhìn thì hãy bảo tại cái đề bài đã có a,b,x,y rồi -.-

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left[\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\)\(\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Hay \(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Chia hai vế của BĐT cho (a + b + c),ta có đpcm: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Câu 1: \(P=\sum\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)

Nó chính là dòng 5 trở đi của bài 4 này, ko làm lại nữa nhé:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Câu 2:

\(\frac{a^3}{\left(a^2+b^2+a^2\right)\left(a^2+a^2+c^2\right)}\le\frac{a^3}{\left(a^2+ab+ac\right)^2}=\frac{a}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự, cộng lại và rút gọn sẽ có đpcm

Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Phạm Lan Hương, Pumpkin Night, No choice teen, HISINOMA KINIMADO,

tth, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Chu Tuấn Minh, Lê Thị Hồng Vân, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@Akai Haruma

giúp e vs ạ! thanks trước

\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

b) Mạnh hơn, và dễ dàng hơn là:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{\sum c\left(a-b\right)^2}{abc}\)

Nó tương đương với: \({\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac {{c}^{2} }{{a}^{2}}}+3-2\,{\frac {a}{b}}-2\,{\frac {b}{c}}-2\,{\frac {c}{a}} \geqq 0\)

Là hiển nhiên vì \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\)

Đơn giản:))

a) Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow ab+bc+ca=1;0< a,b,c< 1\)

Cần chứng minh: \(P=\sum\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{b^2}}=\sum\frac{b^2-ab^2}{a}\ge\sqrt{3}-1\)

Hay là: \(\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\sqrt{ab+bc+ca}\ge\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)^2\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(\Big[ (\sqrt{3} -1) (ab+bc+ca) +a^2+b^2+c^2\Big]^2\)

Giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\) và đặt \(a=c+u, \, b=c+v \, (u,\, v \geq 0)\)

Nếu mình không nhìn nhầm, sau khi rút gọn, nhóm lại theo biến c, bạn nhận được một cái gì đó gọi là hiển nhiên

Chúc may mắn, mình mới rút gọn thử thì thấy có vẻ hiển nhiên thật :))

câu 6 là với mọi a,b,c lớn hơn hoặc bằng 1 nhé

help me !!!!!!

Mới nghĩ ra 3 câu:

a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)

\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)

\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)

c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)

\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)

d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)

Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm

Mn giúp e vs ạ! Thanks!

Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko

3a biến đổi tí là xong

b tuong tự bài 1