Phùng Hà ChâuThảo Phương muốn đặt tên nhưng chưa nghĩ ra bạn nào tốt nghĩ giùm mkNguyễn Anh ThưKhánh Như Trương NgọcTrần Ánh ThuKagamine Len love Vocaloid02Ten Hoànghuyền thoại đêm trăngNguyễn Thị Kiều Duyên

Gọi b1, b2 là nồng độ 2 dd NaOH, a là nồng độ dd H2SO4
Khi trộn 1l B1 vs 1l B2 được 2l dd chứa (b1+b2) mol NaOH
H2SO4 + 2NaOH--> Na2SO4+2H2O
Vì 2 l H2SO4 có 2a mol => b1+b2=4a
Trộn 2l B1 vs 1l B2 thì được 3l dd chứa (2b1+b2) mol NaOH
trung hòa 30ml Y cần 32,5mlA (có 3,25a mol)=> 2b1+b2=6,5a
ta có hệ
b1+b2=4a
2b1+b2=6,5a
ta đuợc
b1=2,5a và b2=1,5a
khi trung hòa 70ml dung dịch Z tạo ra thì cần 67,5ml A
=>khi trung hòa 7l dung dịch Z tạo ra thì cần 67,5l A (chứa 6,75a mol H2SO4)
Theo pt, H2SO4: NaOH =1:2
=>nNaOH trong 7l Z=13,5a
Gọi V 2 dd NaOH cần trộn là x,y(l)
=> 2,5ax + 1,5ay=13,5a, mà x+y=7=> x/y=3/4

Bạn cần viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.

Sửa đề : \(\dfrac{a^2}{a^2+b}+\dfrac{b^2}{b^2+a}\le1\\ \) (*)

\(< =>\dfrac{a^2\left(b^2+a\right)+b^2\left(a^2+b\right)}{\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)}\le1\\ < =>a^2b^2+a^3+b^2a^2+b^3\le\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)\) ( Nhân cả 2 vế cho `(a^{2}+b)(b^{2}+a)>0` )

\(< =>a^3+b^3+2a^2b^2\le a^2b^2+b^3+a^3+ab\\ < =>a^2b^2\le ab\\ < =>ab\le1\) ( Chia 2 vế cho `ab>0` )

Do a,b >0 

Nên áp dụng BDT Cô Si :

\(2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}< =>\sqrt{ab}\le1\\ < =>ab\le1\)

Do đó (*) luôn đúng

Vậy ta chứng minh đc bài toán

Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b>0,a+b=2< =>a=b=1\)

a Sửa đề : Chứng minh \(\dfrac{a^2}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2}{b^2+a}\)\(\le\) 1 ( Đề thi vào 10 Hà Nội).

Bất đẳng thức trên tương đương : 

\(\dfrac{a^2+b-b}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2+a-a}{b^2+a}\)\(\le\)1

\(\Leftrightarrow\) 1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\)+ 1 - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)1

\(\Leftrightarrow\)1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\) - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)0

\(\Leftrightarrow\)- \(\dfrac{b}{a^2+b}\)- \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)-1

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)+ \(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\ge\)1

Xét VT = \(\dfrac{a^2}{ab^2+a^2}\)+ \(\dfrac{b^2}{a^2b+b^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab^2+a^2+a^2b+b^2}\) (Cauchy - Schwarz)

= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(b+a\right)+a^2+b^2}\)

\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a^2+b^2}\)

= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)= 1

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = 1

Áp dụng BĐT bunyakovsky:

\(7-a=b+c+d\le\sqrt{3\left(b^2+c^2+d^2\right)}=\sqrt{3\left(13-a^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow49-14a+a^2\le39-3a^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2-14a+10\le0\Leftrightarrow2\left(a-1\right)\left(2a-5\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow1\le a\le\dfrac{5}{2}\)

Vậy \(A_{max}=\dfrac{5}{2}\)khi \(b=c=d=\dfrac{3}{2}\)

2

Đề bài sai

Phản ví dụ:

\(a=-1;b=1\) thì \(\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)=4\)

Trong khi \(\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)=0\)

\(4< 0\) là sai

BĐT này chỉ đúng với a;b là các số thực không âm (hoặc dương), hoặc cùng dấu

B