Từ trái qua phải nhé.

\(\begin{matrix}x=0;2\\y=-\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{4};3\end{matrix}\)

\(y=\dfrac{1}{3x^2-x-2}=\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(3x+2\right)}=\dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{3x+2}\)

\(y'=\dfrac{1}{5}.\dfrac{\left(-1\right)^1.1!}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{3}{5}.\dfrac{\left(-1\right)^1.3^1.1!}{\left(3x+2\right)^2}\)

\(y''=\dfrac{1}{5}.\dfrac{\left(-1\right)^2.2!}{\left(x-1\right)^3}-\dfrac{3}{5}.\dfrac{\left(-1\right)^2.3^2.2!}{\left(3x+2\right)^3}\)

\(\Rightarrow y^{\left(n\right)}=\dfrac{1}{5}.\dfrac{\left(-1\right)^n.n!}{\left(x-1\right)^{n+1}}-\dfrac{3}{5}.\dfrac{\left(-1\right)^n.3^n.n!}{\left(3x+2\right)^{n+1}}\)

\(\Rightarrow y^{\left(2019\right)}=\dfrac{1}{5}.\dfrac{\left(-1\right)^{2019}.2019!}{\left(x-1\right)^{2020}}-\dfrac{3}{5}.\dfrac{\left(-1\right)^{2019}.3^{2019}.2019!}{\left(3x+2\right)^{2019}}\)

\(=\dfrac{2019!}{5}\left(\dfrac{3^{2020}}{\left(3x+2\right)^{2020}}-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^{2020}}\right)\)

\(y=\dfrac{1}{2x^2+x-1}=\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{x+1}\)

\(y'=\dfrac{2}{3}.\dfrac{-2}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{-1}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(-1\right)^1.2^1.1!}{\left(2x-1\right)^2}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{\left(-1\right)^1.1!}{\left(x+1\right)^2}\)

\(y''=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(-1\right)^2.2^2.2!}{\left(2x-1\right)^3}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{\left(-1\right)^2.2!}{\left(x+1\right)^3}\)

\(\Rightarrow y^{\left(n\right)}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(-1\right)^n.2^n.n!}{\left(2x-1\right)^{n+1}}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{\left(-1\right)^n.n!}{\left(x+1\right)^{n+1}}\)

\(\Rightarrow y^{\left(2019\right)}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(-1\right)^{2019}.2^{2019}.2019!}{\left(2x-1\right)^{2020}}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{\left(-1\right)^{2019}.2019!}{\left(x+1\right)^{2020}}\)

\(=\dfrac{2019!}{3}\left(\dfrac{1}{\left(x+1\right)^{2020}}-\dfrac{2^{2020}}{\left(2x-1\right)^{2020}}\right)\)

1.

\(y'=\left(\dfrac{x}{lnx}\right)'.3^{\dfrac{x}{lnx}}.ln3=\dfrac{lnx-1}{ln^2x}.3^{\dfrac{x}{lnx}}.ln3\)

2.

\(y'=\left(tanx\right)'.tanx+\left(tanx\right)'.\dfrac{1}{tanx}=\dfrac{tanx}{cos^2x}+\dfrac{1}{tanx.cos^2x}\)

3.

\(y=\left(ln2x\right)^{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow y'=\left(ln2x\right)'.\dfrac{2}{3}.\left(ln2x\right)^{-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{3x\sqrt[3]{ln2x}}\)

y'=1/3*3x^2-2x+3=x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0

=>y=1/3x^3-x^2+3x+4 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

\(y=\sqrt{x^2+4}\)

=>\(y'=\dfrac{-\left(x^2+4\right)'}{\left(x^2+4\right)^2}=\dfrac{-\left(2x\right)}{\left(x^2+4\right)^2}\)

=>Hàm số này không đồng biến trên từng khoảng xác định

\(y=x^3+4x-sinx\)

=>y'=3x^2+4-cosx

-1<=-cosx<=1

=>3<=-cosx+4<=5

=>y'>0

=>Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

y=x^4+x^2+2

=>y'=4x^3+2x=2x(2x^2+1)

=>Hàm số ko đồng biến trên từng khoảng xác định

1/ \(y'=\dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)'x-x'\sqrt{x+1}}{x^2}=\dfrac{\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}}{x^2}=\dfrac{-x-2}{2x^2\sqrt{x+1}}\)

2/ \(y'=\dfrac{1-x^2-\left(1-x^2\right)'x}{\left(1-x^2\right)^2}=\dfrac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2}\)

3/ \(y'=\dfrac{-\left(x-\sqrt{x+1}\right)'}{\left(x-\sqrt{x+1}\right)^2}=\dfrac{-1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{\left(x-\sqrt{x+1}\right)^2}\)

4/ \(y'=f'\left(x\right)=2x-\dfrac{2x}{x^4}=2x-\dfrac{2}{x^3}\)

\(y'=0\Leftrightarrow\dfrac{2x^4-2}{x^3}=0\Leftrightarrow x=\pm1\)

5/ \(y'=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}}{2\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}\Rightarrow f\left(x\right).f'\left(x\right)=\sqrt{1+\sqrt{1+x}}.\dfrac{1}{4\sqrt{1+x}.\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}=\dfrac{1}{4\sqrt{1+x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{1+x}=\sqrt{2}\Leftrightarrow1+x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

Hãy nhớ câu tính đạo hàm này, bởi nó liên quan đến nguyên hàm sau này sẽ học

Đáp án đúng là D

- Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}x + 2\) là đường thẳng có hệ số góc là \(a = \dfrac{1}{3}\).

- Đồ thị hàm số  \(y =  - \dfrac{1}{3}x + 2\) là đường thẳng có hệ số góc là \(a =  - \dfrac{1}{3}\).

- Đồ thị hàm số \(y =  - 3x + 2\) là đường thẳng có hệ số góc là \(a =  - 3\).

Vì cả ba đường thẳng đều có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau.

- Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}x + 2\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;2} \right)\).

- Đồ thị hàm số \(y =  - \dfrac{1}{3}x + 2\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;2} \right)\)

- Đồ thị hàm số \(y =  - 3x + 2\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;2} \right)\)

Do đó điểm \(A\left( {0;2} \right)\) là giao điểm của ba đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị của các hàm số trên là các đường thẳng cắt nhau tại một điểm. 

PTHĐGĐ của hai hs: 

\(\dfrac{2}{3}x=x^2-x+\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay x vào hàm số đầu tiên: \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\cdot1=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\end{matrix}\right.\)

Vậy hai hs cắt nhau tại: \(\left[{}\begin{matrix}A\left(1;\dfrac{2}{3}\right)\\A\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{9}\right)\end{matrix}\right.\)

1. \(y'=3x^2\sqrt{x}+\dfrac{x^3-5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{7x^3-5}{2\sqrt{x}}\)

2. \(y'=3x^5+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

3. \(y'=2-\dfrac{2}{\left(x-2\right)^2}\)