Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

lupin
24 tháng 7 lúc 16:52

\(y'=3mx^2+3=3\left(mx^2+1\right)\) 

TH 1 : m = 0 ; \(y'=3>0\)  => HS luôn ĐB (L)

TH 2 : \(m\ne0\) ; HSNB trên (-1;1) \(\Leftrightarrow y'\le0\forall x\in\left(-1;1\right)\)

\(\Leftrightarrow mx^2+1\le0\forall x\in\left(-1;1\right)\)  \(\Leftrightarrow m\le\dfrac{-1}{x^2}=g\left(x\right)\forall x\in\left(-1;1\right)\)

( với x = 0 thì \(y'=3>0\) => ĐB ; loại )

\(\Leftrightarrow m\le Ming\left(x\right)\) \(\forall x\in\left(-1;1\right)\)

g'(x) = \(\dfrac{2x}{x^4}=\dfrac{2}{x^3}\)  => ... Đoạn này mik chưa ra 

Bình luận (1)
Võ Quang Nhân
5 tháng 7 lúc 22:05

https://hoc24.vn/ly-thuyet/bai-1-su-dong-bien-va-nghich-bien-cua-ham-so.1662

Bình luận (0)
Mun Amie
5 tháng 7 lúc 0:21

\(x\ge-1\)

Đặt \(t=\sqrt{x+1},t\ge0\Rightarrow t^2-1=x\)

(NX: 1t chỉ có 1x)

Pttt:\(2\left(2t^2-2-1\right)t-3\left(t^2-1\right)+m=0\)

\(\Leftrightarrow4t^3-3t^2-6t+3=-m\) (*)

Xét\(f\left(t\right)=4t^3-3t^2-6t+3,t\ge0\)

\(f'\left(t\right)=12t^2-6t-6\)

\(f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t=1\)

BBT:  

\(t\)               \(0\)              \(1\)            \(+\infty\)

\(f'\left(t\right)\)        ||      \(-\)     \(0\)       \(+\)

\(f\left(t\right)\)         \(3\)            \(-2\)     

Số gđ của đồ thị \(f\left(t\right)\) và đường thẳng \(d=-m\) là số nghiệm của pt (*) 

Để pt ban đầu có nghiệm khi pt (*) có nghiệm

\(\Leftrightarrow-m\ge-2\)

\(\Leftrightarrow m\le2\)

Vậy ...

Bình luận (0)
Akai Haruma
3 tháng 7 lúc 14:25

Lời giải:
$y'=1-\frac{m^2+m+1}{(x-m)^2}$

Để hàm số đồng biến trên $(-\infty; -3)$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} m\not\in (-\infty; -3)\\ 1-\frac{m^2+m+1}{(x-m)^2}>0, \forall x\in (-\infty; -3)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\not\in (-\infty; -3)\\ x^2-2mx-m-1>0, \forall x\in (-\infty; -3)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\not\in (-\infty; -3)\\ x^2-1> m(2x+1), \forall x\in (-\infty; -3)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\not\in (-\infty; -3)\\ \frac{x^2-1}{2x+1}< m, \forall x\in (-\infty; -3)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\not\in (-\infty; -3)\\ m> max(\frac{x^2-1}{2x+1}), \forall x\in (-\infty; -3)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\not\in (-\infty; -3)\\ m\geq -\frac{8}{5}, \forall x\in (-\infty; -3)\end{matrix}\right.\Rightarrow m\in [\frac{-8}{5}; +\infty)\)

 

 

Bình luận (0)
Nguyễn Ngân Hòa
2 tháng 7 lúc 9:59

Ta có: \(y'=\left(m+1\right)x^2+2\left(2m-1\right)x-\left(3m+2\right)\)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4 thì y'=0 phải có hai nghiệm phân biệt, (m+1)>0 và \(\left|x_1-x_2\right|=4\)

Ta có: m+1>0 \(\Rightarrow m>-1\) (1)

TH1: m=-1

\(\Rightarrow y'=-6x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{6}\) (loại)

TH2: \(m\ne-1\)

\(\Rightarrow\Delta=4\left(2m-1\right)^2+4\left(3m+2\right)\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4\left(4m^2-4m+1\right)+4\left(3m^2+3m+2m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=16m^2-16m+4+12m^2+20m+8\)

\(\Leftrightarrow\Delta=28m^2+4m+12>0\forall m\in R\)

Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2\left(2m-1\right)}{\left(m+1\right)}\\x_1x_2=\dfrac{-\left(3m+2\right)}{\left(m+1\right)}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left|x_1-x_2\right|=4\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-2\left(2m-1\right)}{m+1}\right)^2+\dfrac{4\left(3m+2\right)}{m+1}=16\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(2m-1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}+\dfrac{12m+8}{m+1}=16\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(4m^2-4m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}+\dfrac{12m+8}{m+1}=16\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{16m^2-16m+4}{\left(m+1\right)^2}+\dfrac{12m+8}{m+1}=16\)

\(\Leftrightarrow16m^2-16m+4+\left(m+1\right)\left(12m+8\right)=16\left(m+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow16m^2-16m+4+12m^2+8m+12m+8=16m^2+32m+16\)

\(\Leftrightarrow12m^2-28m-4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{7+\sqrt{61}}{6}\\m=\dfrac{7-\sqrt{61}}{6}\end{matrix}\right.\)(TM)

Bình luận (0)
Kudo Shinichi
20 tháng 6 lúc 18:26

Bạn có thể tham khảo cách làm tại đây:https://anhsangsoiduong.vn/cau-hoi/toan-lop-7-cho-ham-so-y-f-mu-2-5-a-tinh-f-2-f-1-3-b-tim-de-f-5-349/

Bình luận (0)
Nguyễn Ngân Hòa
21 tháng 6 lúc 9:42

undefined

Bình luận (0)