Bài 2: Cực trị hàm số

Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
29 tháng 10 2020 lúc 21:57

Có 2 cách giải:

Cách 1: điều kiện bài toán tương đương với \(y=0\) có 3 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+m-2=0\) có 2 nghiệm pb khác -1

Đến đây quá đơn giản rồi

Cách 2: trong trường hợp hàm \(f\left(x\right)\) ko thuận lợi như vậy (ko thể nhẩm được nghiệm) thì bài toán tương đương tìm m để hàm có 2 giá trị cực trị trái dấu

Gọi 2 cực trị (là nghiệm của pt bậc 2 \(y'=0\) ) là \(x_1;x_2\)

Gọi d là đường thẳng đi qua 2 cực trị. Ta nhận thấy 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi d cắt Ox tại điểm có hoành độ \(x_0\) sao cho \(x_1< x_0< x_2\)

Do đó hướng làm như sau:

- Xét \(y'=0\) để tìm liên hệ \(x_1;x_2\) qua hệ thức Viet

- Tiến hành chia y cho y' và lấy phần dư để được pt đường thẳng d

- Tìm hoành độ giao điểm của d với Ox (phụ thuộc m)

- Từ hệ thức \(x_1< x_0< x_2\) ta sẽ tìm được khoảng của m

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
29 tháng 10 2020 lúc 22:09

\(y'=4x^3-4m^2x=0\Rightarrow4x\left(x^2-m^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=m\\x=-m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(0;m\right)\\B\left(-m;m-m^4\right)\\C\left(m;m-m^4\right)\end{matrix}\right.\)

ĐTHS có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow m\ne0\)

Để A nằm khác phía trục hoành so với B; C (Ox cắt 2 cạnh tam giác)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m-m^4< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)

Giả sử 2 giao điểm của AB và AC với Ox lần lượt là C và D, AH là đường cao trong tam giác ABC, K là giao của AH với Ox \(\Rightarrow AH=y_A-y_H=m-\left(m-m^4\right)=m^4\)

\(AK=y_A-y_O=m\)

Talet \(\Rightarrow\frac{AK}{AH}=\frac{CD}{BC}\)

\(S_{ACD}=\frac{1}{2}S_{ABC}\Leftrightarrow\frac{1}{2}AK.CD=\frac{1}{4}AH.BC\)

\(\Rightarrow\frac{CD}{BC}=\frac{AH}{2AK}=\frac{AK}{AH}\Rightarrow AH=\sqrt{2}AK\)

\(\Rightarrow m^4=\sqrt{2}m\Leftrightarrow m=\sqrt[6]{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
28 tháng 10 2020 lúc 22:16

\(y'=3x^2-6x+m^2-8m\)

Hàm có 2 cực trị trái dấu khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow ac=3\left(m^2-8m\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow0< m< 8\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
28 tháng 10 2020 lúc 22:11

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2-2x+m\\v=x^2+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f'\left(x\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=0\)

\(\Leftrightarrow u'v=uv'\Leftrightarrow\frac{u}{v}=\frac{u'}{v'}\)

\(\Rightarrow f\left(x_1\right)=\frac{u\left(x_1\right)}{v\left(x_1\right)}=\frac{u'\left(x_1\right)}{v'\left(x_1\right)}=\frac{2x_1-2}{2x_1}=1-\frac{1}{x_1}\)

\(f\left(x_2\right)=\frac{u'\left(x_2\right)}{v'\left(x_2\right)}=\frac{2x_2-2}{2x_2}=1-\frac{1}{x_2}\)

\(\Rightarrow k=\frac{1-\frac{1}{x_1}-1+\frac{1}{x_2}}{x_1-x_2}=\frac{1}{x_1x_2}\)

Mặt khác \(x_1;x_2\) là nghiệm của

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left(2x-2\right)\left(x^2+2\right)-2x\left(x^2-2x+m\right)=2x^2-2\left(m-2\right)x-4=0\)

\(\Rightarrow x_1x_2=-\frac{4}{2}=-2\)

\(\Rightarrow k=-\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
28 tháng 10 2020 lúc 21:24

\(y'=3x^2-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(1;m-2\right)\) ; \(B\left(-1;m+2\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=\sqrt{1+\left(m-2\right)^2}=\sqrt{1+\left(2-m\right)^2}\\OB=\sqrt{1+\left(m+2\right)^2}\\AB=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(T=OA+OB+AB=2\sqrt{5}+\sqrt{1+\left(2-m\right)^2}+\sqrt{1+\left(m+2\right)^2}\)

\(T\ge2\sqrt{5}+\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(2-m+m+2\right)^2}=4\sqrt{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2-m=m+2\Leftrightarrow m=0\)

Bình luận (1)
Na Cà Rốt
27 tháng 10 2020 lúc 22:38

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
18 tháng 10 2020 lúc 21:39

\(y'=x^2-2mx+m^2-1\)

Hàm có 2 cực trị khi và chỉ khi:

\(x^2-2mx+m^2-1=0\) có 2 nghiệm

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-\left(m^2-1\right)>0\Leftrightarrow1>0\) (luôn thỏa mãn)

Khi đó, gọi \(x_1;x_2\) là hai cực trị, theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2-7=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-3\left(m^2-1\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4=0\Rightarrow m=\pm2\)

Bình luận (0)
Luân Trần
14 tháng 10 2020 lúc 19:04

2.

\(y'=3x^2-6mx+6m\)

Hàm số y có 2 điểm cực trị \(\Leftrightarrow\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow\left(-3m\right)^2-18m>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>2\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Luân Trần
14 tháng 10 2020 lúc 19:01

1.

Nhắc nhở một tý: Phương trình bậc 3 thì chỉ có thể có 2 cực trị hoặc là không có cực trị nào hết, không phương trình bậc 3 nào có 1 cực trị hết.

\(y'=x^3-6mx+4m^3\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow\left(-3m\right)^2-4m^3>0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m< \frac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN