Bài 2: Cực trị hàm số

I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left(a;b\right)\) (có thể \(a\) là \(-\infty\), \(b\) là \(+\infty\)) và điểm \(x_0\in\left(a;b\right)\).

a) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f\left(x\right)< f\left(x_0\right)\) với mọi \(x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)\) và \(x\ne x_0\) thì ta nói hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực đại tại \(x_0\).

b) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f\left(x\right)>f\left(x_0\right)\) với mọi \(x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)\) và \(x\ne x_0\) thì ta nói hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\).

Chú ý:

1. Nếu hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực đại (cực tiểu) tại \(x_0\) thì \(x_0\) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số, \(f\left(x_0\right)\) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là \(f_{CĐ}\left(f_{CT}\right)\), còn điểm \(M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là các điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên khoảng \(\left(a;b\right)\) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại \(x_0\) thì \(f'\left(x_0\right)=0\).

II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Định lí 1:

Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên khoảng \(K=\left(x_0-h;x_0+h\right)\) và có đạo hàm trên \(K\) hoặc trên \(K\)\\(\left\{x_0\right\}\), với \(h>0\).

a) Nếu \(f'\left(x\right)>0\) trên khoảng \(\left(x_0-h;x_0\right)\) và \(f'\left(x\right)< 0\) trên khoảng \(\left(x_0;x_0+h\right)\) thì \(x_0\) là một điểm cực đại của hàm số \(f\left(x\right)\).

b) Nếu \(f'\left(x\right)< 0\) trên khoảng \(\left(x_0-h;x_0\right)\) và \(f'\left(x\right)>0\) trên khoảng \(\left(x_0;x_0+h\right)\) thì \(x_0\) là một điểm cực tiểu của hàm số \(f\left(x\right)\).

Ví dụ 1:  Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left(x\right)=-x^2+1\).

Giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\in R\).

Ta có \(f'\left(x\right)=-2x\) , \(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(x=0\) là điểm cực đại của hàm số và đồ thị hàm số có một điểm cực đại là \(\left(0;1\right)\).

Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y=x^3-x^2-x+3\).

Giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\in R\).

Ta có \(y'=3x^2-2x-1\) ; \(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra \(x=-\dfrac{1}{3}\) là điểm cực đại, \(x=1\) là điểm cực tiểu của hàm số.

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số \(y=\dfrac{3x+1}{x+1}\).

Giải:

Hàm số xác định tại mọi \(x\ne-1\)

Ta có \(y'=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}>0,\forall x\ne-1\) . Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ

Từ định lí 1 ta có Quy tắc 1:

       1. Tìm tập xác định.

       2. Tính \(f'\left(x\right)\). Tìm các điểm tại đó \(f'\left(x\right)=0\) hoặc \(f'\left(x\right)\) không xác định.

       3. Lập bảng biến thiên.

       4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Định lí 2:

GIả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm cấp hai trong khoảng \(\left(x_0-h;x_0+h\right)\) với \(h>0\). Khi đó:

a) Nếu \(f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu;

b) Nếu \(f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.

Áp dụng định lí 2, ta có Quy tắc 2:

       1. Tìm tập xác định.

       2. Tính \(f'\left(x\right)\). Giải phương trình \(f'\left(x\right)=0\) và kí hiệu \(x_i\left(i=1,2,...,n\right)\) là các nghiệm của nó.

       3. Tính \(f''\left(x\right)\) và \(f''\left(x_i\right)\).

       4. Dựa vào dấu của \(f''\left(x_i\right)\) suy ra tính chất cực trị của điểm \(x_i\).

Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^4}{4}-2x^2+6\).

Giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\in R\).

\(f'\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)\) , \(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x_1=0,x_2=-2,x_3=2\)

\(f''\left(x\right)=3x^2-4\)

\(f''\left(\pm2\right)=8>0\Rightarrow x=-2\) và \(x=2\) là hai điểm cực tiểu;

\(f''\left(0\right)=-4< 0\Rightarrow x=0\) là điểm cực đại.

Kết luận: \(f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x=-2\) và \(x=2\), \(f_{CT}=f\left(\pm2\right)=2\)

               \(f\left(x\right)\) đạt cực đại tại \(x=0\) và \(f_{CĐ}=f\left(0\right)=6\).

Ví dụ 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số \(f\left(x\right)=\sin2x\).

Giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\in R\).

\(f'\left(x\right)=2\cos2x,f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow2x=\dfrac{\pi}{2}+l\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+l\dfrac{\pi}{2}\left(l\in Z\right)\)

\(f''\left(x\right)=-4\sin2x\)

\(f''\left(\dfrac{\pi}{4}+l\dfrac{\pi}{2}\right)=-4\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+l\pi\right)=\left\{{}\begin{matrix}-4\left(l=2k\right)\\4\left(l=2k+1\right)\end{matrix}\right.\left(l\in Z\right)\)

Kết luận: \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\left(k\in Z\right)\) là các điểm cực đại của hàm số;

               \(x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\left(k\in Z\right)\) là các điểm cực tiểu của hàm số.