Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

1: \(f'\left(x\right)=\dfrac{x'\cdot\left(x+3\right)-x\left(x+3\right)'}{\left(x+3\right)^2}=\dfrac{x+3-x}{\left(x+3\right)^2}=\dfrac{3}{\left(x+3\right)^2}\)

\(f'\left(-2x\right)=\dfrac{3}{\left(-2x+3\right)^2}\)<>-2x/-2x+3

=>Nhận xét này sai

2: \(f\left(-2x\right)=\dfrac{-2x}{-2x+3}=\dfrac{2x}{2x-3}\)

\(\left[f\left(-2x\right)\right]'=\dfrac{\left(2x\right)'\cdot\left(2x-3\right)-2x\cdot\left(2x-3\right)'}{\left(2x-3\right)^2}\)

\(=\dfrac{2\left(2x-3\right)-2x\cdot2}{\left(2x-3\right)^2}=\dfrac{-6}{\left(2x-3\right)^2}\)

=>Nhận xét này sai

Lời giải:

(1): $f'(-2x)$ là đạo hàm của $f(x)$ tại $-2x$

$f'(x)=\frac{x}{x+3}$

$\Rightarrow f'(-2x)=\frac{-2x}{-2x+3}$ (nhận định này đúng) 

(2) $[f(-2x)]'$ là đạo hàm của $f(-2x)$.

$[f(-2x)]'=(-2x)'f'(-2x)=-2f'(-2x)=\frac{-2(-2x)}{-2x+3}=\frac{4x}{-2x+3}$

Nhận định này đúng.

1:

\(y'=\dfrac{\left(2x-1\right)'\cdot\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)\cdot\left(x+2\right)'}{\left(x+2\right)^2}\)

\(=\dfrac{2x+4-2x+1}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{5}{\left(x+2\right)^2}\)

2:

\(\left(2x^2-3x+1\right)'=2\cdot2x-3=4x-3\)

(1-x^2)'=1-2x

\(y'=\left(4x-3\right)\cdot\left(1-x^2\right)+\left(2x^2-3x+1\right)\left(1-2x\right)\)

\(=4x-4x^3-3+3x^2+2x^2-4x^3-3x+6x^2+1-2x\)

\(=-8x^3+11x^2-x-2\)

5:

\(\sqrt{2x^2+1}'=\dfrac{\left(2x^2+1\right)'}{\sqrt{2x^2+1}}=\dfrac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}\)

\(y'=x'+\sqrt{2x^2+1}'=1+\dfrac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}\)

1: y'=5x^4+3*4x^3-2x+3

=5x^4+12x^3-2x+3

2: y'=4x^3-3*3x^2-1/x^2

=4x^3-9x^2-1/x^2

3: \(y'=\left(\sqrt{x}\right)'\cdot\left(2x^2+1\right)+\left(2x^2+1\right)'\cdot\left(\sqrt{x}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\left(2x^2+1\right)+4x\cdot\sqrt{x}\)

5: 

\(y'=\dfrac{\left(x+1\right)'\cdot\left(x-3\right)-\left(x-3\right)'\cdot\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)^2}\)

\(=\dfrac{x-3-x-1}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{-4}{\left(x-3\right)^2}\)

1.

$y'=((2x^2+x+1)^{100})'=100(2x^2+x+1)^{99}(2x^2+x+1)'$

$=100(2x^2+x+1)^{99}(4x+1)$

2.

$y'=((2-3x^2)^{2020})'=2020(2-3x^2)^{2019}(2-3x^2)'$

$=2020(2-3x^2)^{2019}(-6x)=-12120x(2-3x^2)^{2019}$

3.

$y'=(\frac{1}{3x^2+x+1})'=\frac{-(3x^2+x+1)'}{(3x^2+x+1)^2}=\frac{-(6x+1}{(3x^2+x+1)^2}$

4.

$y'=[(2x^2+x+1)^{\frac{1}{2}}]'=\frac{1}{2}(2x^2+x+1)^{\frac{1}{2}-1}(2x^2+x+1)'$

$=\frac{1}{2\sqrt{2x^2+x+1}}.(4x+1)=\frac{4x+1}{2\sqrt{2x^2+x+1}}$

5.

\(y'=\frac{\sqrt{x^2+x+1}'(x-2)-(x-2)'\sqrt{x^2+x+1}}{(x-2)^2}\)

\(=\frac{\frac{(2x+1)(x-2)}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\sqrt{x^2+x+1}}{(x-2)^2}=\frac{\frac{(2x+1)(x-2)-2(x^2+x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{(x-2)^2}\)

\(=\frac{-5x-4}{2(x-2)^2\sqrt{x^2+x+1}}\)

6.

\(y'=[(2x^2+x+2)^{\frac{-1}{2}}]'=\frac{-1}{2}(2x^2+x+2)^{\frac{-1}{2}-1}(2x^2+x+2)'\)

\(=\frac{-1}{2}(2x^2+x+2)^{\frac{-3}{2}}(4x+1)\)

7.

\(y'=(2x^3+x)'\sqrt{x^2+1}+(2x^3+x)(\sqrt{x^2+1})'\)

\(=(6x^2+1)\sqrt{x^2+1}+(2x^3+x).\frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}\)

\(=(6x^2+1)\sqrt{x^2+1}+\frac{x(2x^3+x)}{\sqrt{x^2+1}}\)

\(=\frac{(6x^2+1)(x^2+1)+x(2x^3+x)}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{8x^4+8x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\)

Đặt \(y=f(x)=x^3+2x^2+x-1 \)

\(f'(x)=3x^2+4x+1\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại M là:

\(y=f'(x_m)(x-x_m)+f(x_m)=f'(1)(x-1)+f(1)=8(x-1)+3=8x-5 \)

TH2: \(m\ne3\)

Ta có: \(y'=3x^2\left(m-3\right)-4m\)

Để hàm số y không có cực trị thì \(\Delta\le0\)

Khi y'=0 thì phương trình y' sẽ có nghiệm kép, mà tại vị trí nghiệm kép đó dấu của y' không đổi nên y sẽ không có cực trị

Lời giải:
i. Sai. Lấy $f(x)=x^4+1$ là ví dụ 

ii. Sai, tương tự ý i

iii. Sai, lấy $f(x)=x^4+1$ có $f''(0)=0$ và đạt cực trị tại $x=0$

Đáp án A.

Lời giải:

i, ii: Đúng theo SGK

iii) Sai, nếu $f''(x_0)=0$ thì ta chưa kết luận được gì

iv) Đúng, suy từ câu iii

Đáp án B.

a.\(y'=x\left(\sqrt{x^2-2x}\right)'+\sqrt{x^2-2x}=\dfrac{x}{2\sqrt{x^2-2x}}2\left(x-1\right)+\sqrt{x^2-2x}=\dfrac{x\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2-2x}}+\sqrt{x^2-2x}\)

\(=\dfrac{x^2-x+x^2-2x}{2\sqrt{x^2-2x}}=\dfrac{2x^2-3x}{2\sqrt{x^2-2x}}\)

b. \(y=3sin2x+cos3x\Rightarrow y'=6cos2x-3sin3x\)