Question

cho y=\(\dfrac{2x-1}{x-1}\) (h)

a) viết pt tiếp tuyến với (h) tại A có tung độ = 3

b) viết pt tiếp tuyến với (h) biết tiếp điểm của tiếp tuyến cách M(0,1) một khoảng =2

c) tìm trên (h) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến K(0,2) bằng 4

d) tìm \(x\) biết y' >= 3

Answer 1

Tập xác định: \(D= \mathbb{R}\setminus \{1\}\)

Ta có: \(y'=\dfrac{-1}{(x-1)^2} \ \forall x\in D\)

a) Do \(y_A=3\) và \(A\in (h)\) nên ta có:

\(\dfrac{2x_A-1}{x_A-1}=3 \Leftrightarrow x_A=2 \ \ (t/m)\)

Suy ra tiếp tuyến qua A của (h) là:

\(y-y_A=y'(x_A)(x-x_A)\\ \Leftrightarrow y-3=-1(x-2)\\ \Leftrightarrow x+y-5=0\)

Answer 2

Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến đó với (h) là \(B(x_B,y_B), \ x_B \ne 1\)

Do \(B\in(h)\) nên \(y_B=\dfrac{2x_B-1}{x_B-1}\)

Khi đó ta có:

\(MB=2 \Leftrightarrow \sqrt{(x_B)^2+(\dfrac{2x_B-1}{x_B-1}-1)^2}=2 \Leftrightarrow x^2_B+\dfrac{x^2_B}{(x_B-1)^2}=4 \\ \Leftrightarrow x^2_B(x_B-1)^2+x^2_B=4(x_B-1)^2 \Leftrightarrow x^4_B-2x^3_B-2x^2_B+8x_B-4=0\\ \Leftrightarrow (x^2_B-x_B+1)^2=5(x_B-1)^2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x^2_B-x_B+1=\sqrt{5}(x_B-1)\\ x^2_B-x_B+1=-\sqrt{5}(x_B-1) \end{array}{} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x^2_B-(\sqrt{5}+1)x_B+\sqrt{5}+1=0\ (vô nghiệm)\\ x^2_B+(\sqrt{5}-1)x_B+1-\sqrt{5}=0 \end{array}{} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x_B=\dfrac{1-\sqrt{5}+\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}\\ x_B=\dfrac{1-\sqrt{5}-\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2} \end{array}{} \right.\\ \)Từ đó với cách tìm tiếp tuyến tương tự như câu (a) em sẽ viết được tiếp tuyến!