Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Do 2 đồ thị cùng tiếp xúc với \(y=2x+1\) tại \(M\left(1;3\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(1\right)=g'\left(1\right)=2\\f\left(1\right)=g\left(1\right)=3\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(h'\left(x\right)=f'\left(x\right).g\left(x\right)+f\left(x\right).g'\left(x\right)+2021\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h'\left(1\right)=f'\left(1\right).g\left(1\right)+f\left(1\right).g'\left(1\right)+2021=2.3+3.2+2021=2033\\h\left(1\right)=g\left(1\right).g\left(1\right)+2021.1=3.3+2021=2030\end{matrix}\right.\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=2033\left(x-1\right)+2030\Leftrightarrow y=2033x-3\)

7.

\(y'=3x^2+8x-1\)

\(\Rightarrow y'\left(2\right)=3.2^2+8.2-1=27\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{x^2+x+3}-x^2+1}{x^2-4}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+3}}-2x}{2x}=\dfrac{\dfrac{2.2+1}{2\sqrt{4+2+3}}-4}{4}=-\dfrac{19}{24}\)

sao có GP lại ko có huy hiệu hỏi thôi

Thấy : \(\sqrt{x^2+x+3}-x^2+1=\sqrt{x^2+x+3}-\left(x^2-1\right)=\dfrac{x^2+x+3-\left(x^2-1\right)^2}{\sqrt{x^2+x+3}+x^2-1}\)

\(=\dfrac{x^2+x+3-x^4+2x^2-1}{...}=\dfrac{-x^4+3x^2+x+2}{...}\)

\(=\dfrac{-\left(x-2\right)\left(x^3+2x^2+x+1\right)}{...}\)

\(\dfrac{\sqrt{x^2+x+3}-x^2+1}{x^2-4}=\dfrac{-\left(x^3+2x^2+x+1\right)}{\left(x+2\right)\left[\sqrt{x^2+x+3}+x^2-1\right]}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{x^2+x+3}-x^2+1}{x^2-4}=\dfrac{-\left(2^3+2.2^2+2+1\right)}{4.\left[\sqrt{2^2+2+3}+2^2-1\right]}=-\dfrac{19}{24}\)

Kiểm tra lại đề bài, giới hạn này không tồn tại

khó nhề

Đặt \(f\left(x\right)=x+x^2+x^3+x^4+...+x^{100}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=1+2x+3x^2+...+100x^{99}=P\) (1)

Mặt khác, ta có \(f\left(x\right)\) cũng là tổng của cấp số nhân với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=x\\q=x\\n=100\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(f\left(x\right)=u_1.\dfrac{q^{100}-1}{q-1}=x.\dfrac{x^{100}-1}{x-1}=\dfrac{x^{101}-x}{x-1}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x^{101}-x\right)'.\left(x-1\right)-\left(x-1\right)'.\left(x^{101}-x\right)}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{\left(x-1\right)^2}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow P=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{\left(x-1\right)^2}\)

Xét hàm:

\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^{100}}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{3}{x^4}-...-\dfrac{100}{x^{101}}=-P\) (1)

Mặt khác \(f\left(x\right)\) là tổng cấp số nhân với \(\left\{{}\begin{matrix}n=100\\u_1=\dfrac{1}{x}\\q=\dfrac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=u_1.\dfrac{1-q^{100}}{1-q}=\dfrac{1}{x}.\dfrac{1-\dfrac{1}{x^{100}}}{1-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1-\dfrac{1}{x^{100}}}{x-1}=\dfrac{x^{100}-1}{x^{101}-x^{100}}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x^{100}-1\right)'\left(x^{101}-x^{100}\right)-\left(x^{101}-x^{100}\right)'\left(x^{100}-1\right)}{\left(x^{101}-x^{100}\right)^2}=-\dfrac{x^{101}-101x^{100}+100}{x^{101}\left(x-1\right)^2}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow P=\dfrac{x^{101}-101x^{100}+100}{x^{101}\left(x-1\right)^2}\)

Chọn D

\(f'\left(x\right)=4x^3+2\left(1-m^2\right)x=0\Rightarrow2x\left(2x^2+1-m^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=\dfrac{m^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Pt có 3 nghiệm thực pb khi \(\dfrac{m^2-1}{2}>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

C đúng

\(y'=\dfrac{-5}{\left(x-3\right)^2}\)

\(\Rightarrow y'\left(4\right)=\dfrac{-5}{\left(4-3\right)^2}=-5\) ;  \(y\left(4\right)=\dfrac{2.4-1}{4-3}=7\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=4\) là:

\(y=-5\left(x-4\right)+7=-5x+27\)