c) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{A+B+C}=\dfrac{9}{A+B+C}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi\(\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{C}\)

a)Theo bất đẳng thức cauchy:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)

Ta có điều phải chứng minh

b)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{9}{a+b+c}.\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(a=b=c\)

Ta có điều phải chứng minh

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

=> (a+b).\(\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\left(a+b\right).\dfrac{4}{a+b}=4\left(dpcm\right)\)

b)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)

=>\(\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{a+b+c}=9\left(dpcm\right)\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Lời giải:

Bổ sung điều kiện $a,b$ là các số dương. Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$

$\Rightarrow (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$

Ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\((a+b)\ge 2\sqrt{ab}\)

\(\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge 2\sqrt{\dfrac1{ab}}\)

\(\Rightarrow (a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right) \ge 2\sqrt{ab}2\sqrt{\dfrac1{ab}}=4\) (đpcm)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng BĐT với hai số dương ta có:

`a+b>=2sqrt{ab}`

`1/a+1/b>=2/sqrt{ab}`

`=>(a+b)(1/a+1/b)>=2sqrt{ab}. 2/sqrt{ab}=4`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b>0`

Viết gọn lại, ta cần chứng minh:
\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{ab}}\right)=\sum\dfrac{4ab}{a+b}\)

Thật vậy, ta có:

\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum\left(2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{1}{4}}\right)^2=\sum a+b\)

Vậy ta cần chứng minh:

\(\sum a+b\ge\sum\dfrac{4ab}{a+b}\Leftrightarrow\sum\left(a+b\right)^2\ge\sum4ab\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :

Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Nhân vế theo vế ta được :

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

Chính bài của em:

Cho \(a,b,c\ge1\). CMR: \(a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)+2\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}... - Hoc24