a, Áp dụng bất đẳng thức Holder cho 2 bộ số \(\left(x,y,z\right)\left(3;3;3\right)\) ta có:

\(\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)\ge\left(\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{3.3.3}\right)^3=\left(\sqrt[3]{xyz}+3\right)\)

\(\sqrt[3]{\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)}\ge3+\sqrt[3]{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\sqrt{x}=\sqrt{2017}\)

\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2017}}{3}\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3}\right)\)

P/s: Không chắc cho lắm ạ.

Vũ Minh Tuấn, Hoàng Tử Hà, đề bài khó wá, Lê Gia Bảo, Aki Tsuki, Nguyễn Việt Lâm, Lê Thị Thục Hiền,

Học 24h, @tth_new, @Akai Haruma, Nguyễn Trúc Giang, Băng Băng 2k6

Help meeee, please!

thanks nhiều

Aki Tsuki hattori heiji Akai Haruma

a/ Đơn giản là dùng phép thế:

\(x+2y+x+y+z=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\)

\(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)=-\left(-2y+y\right)=y\)

Thế vào pt cuối:

\(\left(1-2y\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)

Vậy là xong

b/ Sử dụng hệ số bất định:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{12}-\frac{z}{4}\right)=a\\b\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3}\right)=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}\right)x+\left(\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\right)y+\left(\frac{-a}{4}+\frac{b}{3}\right)z=a+b\) (1)

Ta cần a;b sao cho \(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\\\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}\)

Chọn \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\end{matrix}\right.\) thay vào (1):

\(\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)=7\Rightarrow x+y+z=6\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

☘ Ta có:

\(yz=\dfrac{\left(y+z\right)^2-\left(y^2+z^2\right)}{2}\)

\(=\dfrac{\left(1-x\right)^2-\left(1-x^2\right)}{2}=x^2-x\)

☘ Thay vào phương trình thứ 3

\(\Rightarrow1=x^3+y^3+z^3=x^3+\left(y+z\right)^3-3yz\left(y+z\right)\)

\(=x^3+\left(1-x\right)^3-3\left(x^2-x\right)\left(1-x\right)\)

\(=1+3x^3-3x^2\)

\(\Rightarrow3x^2\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

⚠ Chia thành hai trường hợp, rồi tự giải tiếp nhé.

⚠ Nguồn: Ý tưởng xuất phát từ [Báo TTT - số 71 mục "Thi giải toán qua thư"]

⚠ Có thể có cách khác ngắn gọn, dễ hiểu hơn.

✿ Another way ✿

☘ Ta có:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xy+z\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow xy=-z\left(x+y\right)=-z\left(1-z\right)=z^2-z\left(1\right)\)

☘ Mặt khác

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(\Rightarrow xyz=0\left(2\right)\)

☘ Thay (1) vào (2)

\(\Rightarrow z\left(z^2-z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\z=1\end{matrix}\right.\)

⚠ Cũng chia thành hai trường hợp rồi giải tiếp nhé.

\(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=xyz\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Có: $x^4+y^4\geq 2x^2y^2\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

Lại có: $x^2y^2+y^2z^2\geq 2xzy^2\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)=xyz$

Vậy $\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq xyz$

Dấu = có khi: $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4\ge2x^2y^2\\y^4+z^4\ge2y^2z^2\\x^4+z^4\ge2x^2z^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\)

Lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+y^2z^2\ge2xy^2z\\x^2y^2+x^2z^2\ge2x^2yz\\y^2z^2+x^2z^2\ge2xyz^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xy^2z+x^2yz+xyz^2\)

\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)