Trích mỗi dd một ít, đánh STT làm mẫu thử.

*Cho mẩu quỳ tím vào từng dd

- Hóa đỏ: HCl, H₂SO₄

- Hóa xanh: NaOH, Ba(OH)₂

- Không đổi màu: K₂SO₄

* Cho K₂SO₄ vào 2 mẫu thử làm quỳ tím hóa xanh.

- Mẫu thử xuất hiện kết tủa trắng: Ba(OH)₂

Ba(OH)₂ + K₂SO₄ --> 2KOH + BaSO₄↓

- Mẫu thử KHT: NaOH

* Cho Ba(OH)₂ vào 2 mẫu thử làm quỳ tím hóa đỏ

- Mẫu thử xuất hiện kết tủa trắng là H₂SO₄

Ba(OH)₂ + H₂SO₄ --> 2H₂O + BaSO₄↓

- Mẫu thử KHT là HCl

Ba(OH)₂ + 2HCl --> 2H₂O + BaCl₂

☘ Áp dụng bất đửng thức AM - GM

\(\Rightarrow A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{4}{a+b}\)

\(\ge\left(a+b+1\right)\times2ab+\dfrac{4}{a+b}\)

\(=2\left(a+b+1\right)+\dfrac{4}{a+b}\)

\(=\left(a+b+\dfrac{4}{a+b}\right)+\left(a+b\right)+2\)

\(\ge4+2\sqrt{ab}+2=8\)

⚠ Tự kết luận nha.

✿ Another way ✿

\(x^3+6x^2+12x+6=3\sqrt[3]{3x+8}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^3-3\sqrt[3]{3x+8}=2\)

☘ Đặt \(x+2=a\text{ và }\sqrt[3]{3x+8}=b\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3-3b=2\\b^3-3a=2\end{matrix}\right.\)

☘ Trừ vế theo vế

\(\Rightarrow a^3-b^3-3b+3a=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+3\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+3\right)=0\)

☘ Suy ra a = b

\(\Leftrightarrow x+2=\sqrt[3]{3x+8}\)

\(\Leftrightarrow x^3+6x^2+12x+8=3x+8\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-3\end{matrix}\right.\left(\text{nhận}\right)\)

⚠ Tự kết luận nha.

\(2x^2-x-7+2\sqrt{6x+11}=0\)

☘ Điều kiện: \(x\ge-\dfrac{11}{6}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{6x+11}=-2x^2+x+7\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x^2+x+7\ge0\\24x+44=4x^4+x^2+49-4x^3-28x^2+14x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-\sqrt{57}}{4}\le x\le\dfrac{1+\sqrt{57}}{4}\\4x^4-4x^3-27x^2-10x+5=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-5x-5\right)\left(2x^2+3x-1\right)=0\)

⚠ Tự giải tiếp nha.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2=2x^2+y\\xy^2+2x^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2-y=2x^2\\xy^2-1=-2x^2\end{matrix}\right.\)

☘ Cộng vế theo vế

\(\Rightarrow x^2y^2-1+xy^2-y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(xy+1\right)+y\left(xy-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(xy+1+y\right)=0\)

☘ Trường hợp 1: xy = 1 \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{y}\)

☘ Trường hợp 2: \(xy+1+y=0\) \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1+y}{y}\)

⚠ Thay vào 1 trong 2 phương trình đề bài cho rồi làm tiếp nhé.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y+2=y^2\\xy^2+2=x^2\end{matrix}\right.\)

☘ Trừ vế theo vế

\(\Rightarrow x^2y-xy^2=y^2-x^2\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+xy\right)=0\)

☘ Trường hợp 1: \(x=y\)

☘ Trường hợp 2: \(x+y+xy=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(1+x\right)=-x\)

\(\Leftrightarrow y=-\dfrac{x}{1+x}\) thay vào phương trình thứ 2

\(\Rightarrow x\left(-\dfrac{x}{1+x}\right)^2+2=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^3+2\left(1+x\right)^2-x^2\left(1+x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3-x^2-4x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-x-1\right)=0\)

⚠ Tự giải tiếp nha. Mà chưa học hệ phương trình đối xưng gì đó nên không chắc đâu.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2x^2y^2\\\left(x+y\right)\left(1+xy\right)=4x^2y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2-2xy=2\left(xy\right)^2\\\left(x+y\right)\left(1+xy\right)=4\left(xy\right)^2\end{matrix}\right.\)

☘ Đặt \(x+y=a\text{ và }xy=b\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-2b=2b^2\\a\left(1+b\right)=4b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{4b^2}{1+b}\right)^2-2b=2b^2\left(1\right)\\a=\dfrac{4b^2}{1+b}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow16b^4-2b\left(1+b\right)^2-2b^2\left(1+b\right)^2=0\)

☘ Trường hợp 1: b = 0

☘ Trường hợp 2: \(b\ne0\)

\(\Rightarrow8b^3-\left(1+b\right)^2-b\left(1+b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow8b^3-1-2b-b^2-b-2b^2-b^3=0\)

\(\Leftrightarrow7b^3-3b^2-3b-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(7b^2+4b+1\right)=0\)

\(\Rightarrow b=1\)

⚠ Tự giải tiếp nha. Mà cách này hơi dài.

✿ Another way ✿

☘ Ta có:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xy+z\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow xy=-z\left(x+y\right)=-z\left(1-z\right)=z^2-z\left(1\right)\)

☘ Mặt khác

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(\Rightarrow xyz=0\left(2\right)\)

☘ Thay (1) vào (2)

\(\Rightarrow z\left(z^2-z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\z=1\end{matrix}\right.\)

⚠ Cũng chia thành hai trường hợp rồi giải tiếp nhé.

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

☘ Ta có:

\(yz=\dfrac{\left(y+z\right)^2-\left(y^2+z^2\right)}{2}\)

\(=\dfrac{\left(1-x\right)^2-\left(1-x^2\right)}{2}=x^2-x\)

☘ Thay vào phương trình thứ 3

\(\Rightarrow1=x^3+y^3+z^3=x^3+\left(y+z\right)^3-3yz\left(y+z\right)\)

\(=x^3+\left(1-x\right)^3-3\left(x^2-x\right)\left(1-x\right)\)

\(=1+3x^3-3x^2\)

\(\Rightarrow3x^2\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

⚠ Chia thành hai trường hợp, rồi tự giải tiếp nhé.

⚠ Nguồn: Ý tưởng xuất phát từ [Báo TTT - số 71 mục "Thi giải toán qua thư"]

⚠ Có thể có cách khác ngắn gọn, dễ hiểu hơn.

\(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{y+2}\right)+\left(x^3-y^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+2-y-2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+\left(x-y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}+x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)=0\)

⇒ x = y. Thay vào A

\(\Rightarrow A=x^2+2x^2-2x^2+2x+10\)

\(=\left(x+1\right)^2+9\ge9\)

Suy ra Min A = 9 ⇔ x = y = - 1