\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)

Lấy nguyên hàm hai vế

\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)

Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)

\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)

Chọn D

Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x+\dfrac{1}{3}\right)-f\left(x\right)\)

Hiển nhiên \(g\left(x\right)\) cũng liên tục trên R

Ta có: \(g\left(0\right)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)-f\left(0\right)\)

\(g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(\dfrac{2}{3}\right)\)

\(g\left(\dfrac{1}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)-f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(g\left(0\right)+g\left(\dfrac{1}{3}\right)+g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(0\right)=0\)

- Nếu tồn tại 1 trong 3 giá trị \(g\left(0\right);g\left(\dfrac{1}{3}\right);g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) bằng 0 thì hiển nhiên pt có nghiệm

- Nếu cả 3 giá trị đều khác 0 \(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 2 trong 3 giá trị \(g\left(0\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) trái dấu

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại ít nhất 1 trong 3 tích số: \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) âm

\(\Rightarrow\) Pt \(g\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[0;1\right]\)

Khi gặp dạng này, ý tưởng là sẽ tìm 1 hàm u(x) sao cho:

\(\int\limits^b_a\left[f'\left(x\right)-u\left(x\right)\right]^2dx=0\) (1)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)-u\left(x\right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=u\left(x\right)\)

Khai triển (1), đề cho sẵn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2\)  nên đại lượng \(2u\left(x\right).f'\left(x\right)\) và hàm \(u\left(x\right)\) sẽ được suy ra từ việc tích phân từng phần \(\int\limits f\left(x\right)dx\). Cụ thể:

Xét \(I=\dfrac{2}{3}=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)  

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^2_0-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0xf'\left(x\right)dx=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\) (2)

(Vậy đến đây hàm \(u\left(x\right)\) được xác định là dạng \(u\left(x\right)=k.x\)

Để tìm cụ thể giá trị k:

Từ (1) ta suy luận tiếp:

\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-kx\right]^2dx=0\Leftrightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-2k\int\limits^2_0x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^2_0k^2x^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}-2k.\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}k^2=0\) do \(\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{8}{3}\)

\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\) 

\(\Rightarrow u\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\) coi như xong bài toán)

Do đó ta có:

\(\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2-\int\limits^2_0xf'\left(x\right)+\dfrac{1}{4}\int\limits^2_0x^2dx=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{8}{3}=0\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x\right]^2dx=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2}x=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2+C\)

Thay \(x=2\Rightarrow1=1+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x^2\)

Lời giải:

Thay $x=0$ vào điều kiện đề thì $f(1)=0$ hoặc $f(1)=-1$ 

Đạo hàm 2 vế:

$4f(2x+1)f'(2x+1)_{2x+1}=1+3f(1-x)^2f'(1-x)_{1-x}$

Thay $x=0$ vô thì:

$4f(1)f'(1)=1+3f(1)^2f'(1)$

Nếu $f(1)=0$ thì hiển nhiên vô lý

Nếu $f(1)=-1$ thì: $-4f'(1)=1+3f'(1)\Rightarrow f'(1)=\frac{-1}{7}$

PTTT tại $x=1$ có dạng:

$y=f'(1)(x-1)+f(1)=\frac{-1}{7}(x-1)-1=\frac{-x}{7}-\frac{6}{7}$

Dạng: \(....f'\left(x\right)+...f\left(x\right)=...\)

Ý tưởng luôn là đưa về đạo hàm của tổng sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.

Thêm bớt sao cho vế trái biến thành: \(u\left(x\right).f'\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)\) là được

So sánh nó với vế trái đề bài, dư ra \(u'\left(x\right)\) ở trước \(f\left(x\right)\) nên ta chia nó (vế kia vẫn ko quan tâm)

Được: \(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}.f'\left(x\right)+f\left(x\right)\)

So sánh nó với đề bài, vậy ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) sao cho:

\(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}=x\left(x+1\right)\)

Nhưng để thế này ko lấy nguyên hàm được, phải nghịch đảo 2 vế:

\(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}\)

Giờ thì lấy nguyên hàm: \(\int\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}dx=\int\dfrac{dx}{x\left(x+1\right)}\Leftrightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)

Tới đây suy được \(u\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\) \(\Rightarrow\) vế trái cần có dạng: 

\(\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)\)

Nhìn vào đây là xong rồi. Bài toán sẽ được giải như sau:

Chia 2 vế giả thiết cho \(\left(x+1\right)^2\):

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)\right)'=\dfrac{x}{x+1}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x-\dfrac{x}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}-ln2+C\Rightarrow-2ln2=\dfrac{1}{2}-ln2+C\)

\(\Rightarrow C=-ln2-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|-ln2-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=...\)