Cho ab+bc+ca+abc=4 với a,b,c>0. C/m \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\).
b) Tìm max \(P=\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)+4}}+\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+b^2\right)+4}}+\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)+4}}\)
1. a) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\). Tìm max \(P=\frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^5-z^2+zx+6}}\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=8\end{matrix}\right.\). Min \(P=\frac{x^2}{\sqrt{\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(1+y^3\right)\left(1+z^3\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(1+z^3\right)\left(1+x^3\right)}}\)
c) \(x,y,z>0.\) Min \(P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}+\sqrt{\frac{y^3}{y^3+\left(z+x\right)^3}}+\sqrt{\frac{z^3}{z^3+\left(x+y\right)^3}}\)
d) \(a,b,c>0;a^2+b^2+c^2+abc=4.Cmr:2a+b+c\le\frac{9}{2}\)
e) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ca}\ge\frac{3}{2}\)
f) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca+abc=4\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le3\)
g) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca+abc=2\end{matrix}\right.\) Max : \(Q=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}\)
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Nguyễn Ngọc Lộc , ?Amanda?, Phạm Lan Hương, Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,
Giúp em vs ạ! Thanks nhiều ạ
\(\sqrt[4]{\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}}+\sqrt[4]{\frac{\left(b^2+c^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}{2}}+\sqrt[4]{\frac{\left(c^2+a^2\right)\left(c^2-ca+a^2\right)}{2}}\le\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
=> \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)
=> \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)
Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)
Có: \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)
Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)
a ) \(\sqrt{\frac{a^2}{b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{c^2+\left(a+b\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{a^2+\left(b+c\right)^2}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\)
với a,b,c là các số thực dương
b ) cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}+\frac{\left(1+b\right)^2+c^2+5}{bc+b+4}+\frac{\left(1+c\right)^2+a^2+5}{ca+c+4}\)
a )
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
\(\left(b^2+\left(c+a\right)^2\right)\left(1+\right)\ge\left(b+2\left(a+c\right)\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a^2}{b^2+\left(c+a\right)^2}}\le\sqrt{5}.\frac{a}{b+2c+2a}\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{5}.\left(\frac{a}{b+2c+2a}+\frac{b}{c+2a+2b}+\frac{c}{a+2b+2c}\right)\)
Cần chứng minh : \(\frac{a}{b+2c+2a}+\frac{b}{c+2a+2b}+\frac{c}{a+2b+2c}\le\frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{b+2c+2a}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{c+2a+2b}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{c}{a+2b+2c}\right)\ge\frac{9}{10}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+2c}{b+2c+2a}+\frac{c+2a}{c+2a+2b}+\frac{a+2b}{a+2b+2c}\ge\frac{9}{5}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức ở vế trái :
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(b+2c+c+2a+a+2b\right)^2}{\left(b+2c\right)^2+2a\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)^2+2b\left(c+2a\right)+\left(a+2b\right)^2+2c\left(a+2b\right)}\)
\(=\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+b\right)^2}=\frac{9}{5}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = '" xảy ra khi a=b=c
b ) Ta có abc =1
Ta chứng minh :
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\)
VT \(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ac}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\left(đpcm\right)\)
Ta có : \(\left(1+a\right)^2+b^2+5=\left(a^2+b^2\right)+2a+6\ge2ab+2a+6\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}=\frac{2ab+2a+6}{ab+a+4}=2-\frac{2}{ab+a+4}\)
Mà \(\frac{1}{ab+a+4}=\frac{1}{ab+a+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)\) ( do \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}\ge2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}-\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)
Khi đó :
\(P\ge\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\right)=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.1=5\)
\(P_{Min}=5\) khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c = abc . Tìm
\(A_{max}=\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
Ta có : \(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{bc+a^2+ab+ac}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cô-si ngược ta có
\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
C/m tương tự được \(\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)
Cộng 3 vế của các bđt trên lại ta được
\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=abc\\a=b=c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=a^3\\a=b=c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3-3a=0\\a=b=c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a^2-3\right)=0\\a=b=c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\left(a,b,c>0\right)\)
Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)
2) Cho a,b,c>0 tm a^2+b^2+c^2 bé hơn hoặc bằng abc. Cmr \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)
3) Cho a,b,c>0 tm a+b+c<=3. Cmr \(\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}+\frac{ca}{\sqrt{3+b}}\le\frac{3}{2}\)
4) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=2. Cmr \(\frac{a}{\sqrt{4a+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{4b+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{4c+3ab}}\le1\)
5) Cho a,b,c>0. Cmr \(\sqrt{\frac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}\)
6) Cho a,b,c>0. Cmr \(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}+\frac{b^2}{\left(2b+a\right)\left(2b+c\right)}+\frac{c^2}{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\le\frac{1}{3}\)
Giúp mình với nhé các bạn
1. \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^2\left(1+a\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\le\frac{3\sqrt{2}}{8}\)
2. \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le1\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ac\left(a+c\right)}\ge\frac{87}{2}\)
3. \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca=2abc\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
4. \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y+z=2015\end{matrix}\right.\). Tìm min \(A=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^2+x^2}\)
Mn giúp mk với ạ! Thanks nhiều
Mới nghĩ ra 3 câu:
a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)
c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)
d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm
Mn giúp e vs ạ! Thanks!
1. cho \(0< a\le b\le c\) . Cmr: \(\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
2. cho \(a,b,c\ge0\). cmr: \(a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
3. \(a,b,c>0.\) Cmr: \(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\)
4. \(a,b,c>0\). Tìm Min \(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\)
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
Cách khác câu 2:Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(a^3,b^3,c^3\right)\)
Có: \(VT-VP=\frac{1}{6} \sum\, \left( 3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \left( a -b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2}+\frac{2}{3} \sum \,{a}^{2}{b}^{2} \left( a -b \right) ^{2} \geq 0\)
Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong trường hợp $a,b,c$ là các số thực.
Thật vậy ta chỉ cần chứng minh$:$
\(\frac{1}{6}\sum \left( 3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \left( a -b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2} \geq 0\)
Chú ý \(\sum\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)=0\)
Ta đưa về chứng minh: \(\sum (3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc) \geq 0 \,\,\,\,\,\,(1)\)
Và \(\sum \left( 3\,{a}^{2}+2\,ab+4\,ac+2\,bc+3\,{c}^{2} \right) \left( 3\,{a} ^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \geq 0 \,\,\,\,(2)\)
$(1)$ dễ chứng minh bằng tam thức bậc $2$.
Chứng minh $(2):$
$$\text{VT} = {\frac {196\, \left( a+b+c \right) ^{4}}{27}} + \sum{\frac { \left( a-b \right) ^{2} \left( 47\,a+26\,c+47\,b \right) ^{2}
}{2538}}+\sum {\frac {328\,{c}^{2} \left( a-b \right) ^{2}}{141}} \geq 0$$
Xong.
Vũ Minh Tuấn, @Nk>↑@, Nguyễn Văn Đạt, Băng Băng 2k6, tth, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh, Lê Thị Thục Hiền,
Aki Tsuki, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma
giúp e vs ạ! cần gấp! thanks nhiều!
Cho abc=a+b+c ; a,b,c>0
Tính \(A=\frac{1}{ab}\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}{c^2+1}}+\frac{1}{bc}\sqrt{\frac{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{a^2+1}}+\frac{1}{ca}\sqrt{\frac{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}{b^2+1}}\)
\(gt\Rightarrow1=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+1=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\frac{1}{ab}\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}{c^2+1}}=\sqrt{\frac{\left(1+\frac{1}{a^2}\right)\left(1+\frac{1}{b^2}\right)}{c^2\left(1+\frac{1}{c^2}\right)}}\)
\(=\frac{1}{c}.\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}{\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)}}=\frac{1}{c}\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}\)
\(=\frac{1}{c}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
Tương tự với các cụm còn lại, ta được
\(A=2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=2\)
bài này khó thật, nhưng bạn đừng buồn, sẽ có nhiều bạn khác giúp bạn
nha Nguyễn Quang Linh à