Dễ thấy: CNDP là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DNP}=\widehat{DCP}\)(cùng chắn cung DP)

Tương tự: \(\widehat{MNB}=\widehat{MCB}\)

Ta lại có: \(\widehat{DCP}=90^o-\widehat{CDP}=90^o-\left(180^o-\widehat{CDA}\right)=90^o-\widehat{MBC}=\widehat{BCM}\)

Do đó: \(\widehat{DNP}=\widehat{MNB}\)

Mà B,N,D thẳng hàng

=> M,N,P thẳng hàng

=> \(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\) cùng phương

a) \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) (vì BE,CF là các đường cao)

\(\Rightarrow B,C,E,F\) cùng thuộc một đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{BEF}=\widehat{BCF}\)(cùng chắn cung BF)

Lại có: \(\widehat{BCF}=\widehat{BMN}\)(cùng chắn cung BN)

Do đó: \(\widehat{BEF}=\widehat{BMN}\). Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow MN\)//\(FE\)

b)Ta có: \(\widehat{BEF}=\widehat{BCF}\left(cmt\right)\)(1)

Lại có: C,E,H,D cùng thuộc 1 đường tròn (vì \(\widehat{CDH}=\widehat{CEH}=90^o\))

\(\Rightarrow\widehat{DEH}=\widehat{BCF}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BEF}=\widehat{DEH}\Rightarrow\)EH là p/g của \(\widehat{DEF}\)

Tương tự với FH, DH suy ra đpcm

c)Dễ thấy: \(\Delta ABE\sim\Delta ACF\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)

\(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{MA}=sđ\stackrel\frown{AN}\)

\(\Rightarrow\stackrel\frown{MA}=\stackrel\frown{AN}\)

\(\Rightarrow\)A là điểm chính giữa cung MN

\(\Rightarrow OA\perp MN\)

Mà MN//FE

\(\Rightarrow AO\perp EF\)

hay đpcm

Gọi 5 số thực dương cần tìm là a,b,c,d,e.

Theo đề ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}a=\left(b+c+d+e\right)^2\left(1\right)\\b=\left(a+c+d+e\right)^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

\(a-b=\left(b+c+d+e+a+c+d+e\right)\left(b+c+d+e-a-c-d-e\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\left(a+b+2c+2d+2e\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1+a+b+2c+2d+2e\right)=0\)

\(\Rightarrow a-b=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

Tương tự, ta suy ra: \(a=b=c=d=e\)

Thay vào (1) ta được: \(a=16a^2\Leftrightarrow a\left(16a-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(loại\right)\\a=\frac{1}{16}\left(chọn\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

-Hình bạn tự dựng và vẽ.

Giải:

Dễ thấy: \(\Delta BDG\sim\Delta BAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BG}{BH}=\frac{DG}{AH}\)(1)

Tương tự: \(\Delta CEF\sim\Delta CAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{CF}{CH}=\frac{EF}{AH}\)(2)

Lại có: DG=EF (DEFG là hcn) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\frac{BG}{BH}=\frac{CF}{CH}\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{BG}{BH}=\frac{CF}{CH}=\frac{BG+CF}{BH+CH}=\frac{BC-GF}{BC}=1-\frac{GF}{BC}\)

Từ (1) ta được: \(\frac{BG}{BH}=\frac{DG}{AH}\)

Do đó: \(\frac{DG}{AH}=1-\frac{GF}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{DG+GF}{2a}=1\)(vì BC=AH=2a)

\(\Leftrightarrow EF+DE=2a\)(DEFG là hcn nên DG=EF và GF=DE)

Lại có: DE=2EF (gt)

\(\Rightarrow3EF=2a\Leftrightarrow EF=\frac{2}{3}a\Rightarrow DE=\frac{4}{3}a\)

\(\Rightarrow S_{DEFG}=EF.DE=\frac{2}{3}a.\frac{4}{3}a=\frac{8}{9}a^2\)

Ta có: \(\frac{a}{b}+1=\frac{a+b}{b}\)

*Cần c/m \(\frac{a+b}{b}\ge\frac{4a}{a+b},\forall a>0;b>0\) (*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b là số dương)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{b}{c}+1=\frac{b+c}{c}\ge\frac{4b}{b+c}\); \(\frac{c}{a}+1=\frac{c+a}{a}\ge\frac{4c}{c+a}\)

Cộng theo vế ta được:

\(\left(\frac{a}{b}+1\right)+\left(\frac{b}{c}+1\right)+\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge\frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\ge4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)

Hình tự vẽ

-Vẽ (M;MA) cắt tia DM tại E. Nối A với E.

Dễ thấy: \(\widehat{EAM}=\widehat{DAC}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{MAI}\)

Lại có: \(\frac{AE}{AM}=\frac{AD}{AI}=\sqrt{2}\)

Do đó: \(\Delta ADE~\Delta AIM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{DE}{IM}=\frac{AE}{AM}=\sqrt{2}\)

Mà DE=EM+MD=AM+MD

=>...

Tính tổng các chữ số của n², biết n = 99...9 (50 chữ số 9)

\(ĐK:x>0\)

\(A=\frac{x+5}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{5}\)(Áp dụng BĐT Cô-Si)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=5\)

Vậy \(Min_A=2\sqrt{5}\) khi và chỉ khi \(x=5\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\left(1\right)\\-mx-y=2m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) suy ra: \(y=3-x\). Thay vào (2) ta được:

\(-mx-\left(3-x\right)=2m\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-m\right)=2m+3\)(3)

+) Nếu \(1-m=0\Leftrightarrow m=1\) thì (3) trở thành: \(0=5\) (vô lí)

Do đó: TH này hệ vô nghiệm

+) Nếu \(1-m\ne0\Leftrightarrow m\ne1\) thì:

\(\left(3\right)\Leftrightarrow x=\frac{2m+3}{1-m}\)

\(\Rightarrow y=3-\frac{2m+3}{1-m}=\frac{5m}{m-1}\)

Do đó: TH này hệ có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{2m+3}{1-m}\\y=\frac{5m}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Kết luận:

-HPT có 1 nghiệm khi \(m\ne1\)

-HPT vô nghiệm khi \(m=1\)

-HPT không có TH vô số nghiệm