Cho với mọi a, b khác0 CMR: \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác có diện tích bằng \(\sqrt{3}\)Cmr
\(\frac{a^4+b^4}{a^6+b^6}+\frac{b^4+c^4}{b^6+c^6}+\frac{c^4+a^4}{c^6+a^6}\le\frac{3}{4}\)
1. CMR với mọi a, b \(\in\)R luôn có : \(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)
2. CMR với mọi số thực a,b,c luôn có : a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc + ca
1. Giải
Ta chứng minh với mọi x, y luôn có : \(\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x^3+y^3}{2}\le\frac{x^4+y^4}{2}\) (1)
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le2\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)
ÁP DỤNG (1) ta được
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^4+b^4}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\left(đpcm\right)\)
2. Ta biến đổi các Đẳng thức : \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{2}-ab+\frac{b^2}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{2}-bc+\frac{c^2}{2}\right)-\left(\frac{c^2}{2}-ca+\frac{a^2}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{c}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{c}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)\ge0\left(đpcm\right)\)
1. tìm max, min : a) \(B=\frac{x-y}{x^4+y^4+6}\)
b) \(C=\frac{2x+3y}{2x+y+3}\) với \(4x^2+y^2=1\)
c) \(P=\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}\) với \(1\le x,y\le2\)
2. Cho biểu thức \(A=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\) với \(1\le a\le b\le c\le2\)
a) Cmr: \(A\le\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\) b) Tìm Max A
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Lê Phước Thịnh, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Thanh Hiền, Quân Tạ Minh, @tth_new
Help meeee! thanks nhiều ạ
Đừng tag níc phụ này.
Mà cái câu 2a) bên dưới gì đó ko có đk gì của a, b, c sao giải đc?
Chứng minh rằng với mọi a, b thuôc R luôn có :
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)
ta sẽ chứng minh với mọi x,y luôn có \(\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x^3+y^3}{2}\le\frac{x^4+y^4}{2}\)(*)
thật vậy, (*) tương đương với \(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le2\left(x^4+y^4\right)\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\), luôn đúng
khi đó áp dụng (*) ta được
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^4+b^4}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)(đpcm)
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
1, Cho x+y=2 Chứng minh x4+y4\(\ge2\)
2,Với mọi a,b Chứng minh a4+ b4\(\ge a^3b+ab^3\)
3, Cho a>0 , b>0. Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\)
4, Chứng minh: x4+y4\(\le\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\)với xva2 y khác 0.
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:
\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)
Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:
\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)
1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)
2) Cho a,b,c>0 tm a^2+b^2+c^2 bé hơn hoặc bằng abc. Cmr \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)
3) Cho a,b,c>0 tm a+b+c<=3. Cmr \(\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}+\frac{ca}{\sqrt{3+b}}\le\frac{3}{2}\)
4) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=2. Cmr \(\frac{a}{\sqrt{4a+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{4b+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{4c+3ab}}\le1\)
5) Cho a,b,c>0. Cmr \(\sqrt{\frac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}\)
6) Cho a,b,c>0. Cmr \(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}+\frac{b^2}{\left(2b+a\right)\left(2b+c\right)}+\frac{c^2}{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\le\frac{1}{3}\)
Giúp mình với nhé các bạn
\(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)
\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}=\frac{a^8+b^8}{a^2b^2}\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2a^2b^2}=\frac{\left(a^4+b^4\right)\left(a^4+b^4\right)}{2a^2b^2}\ge\frac{2a^2b^2\left(a^4+b^4\right)}{2a^2b^2}\)
\(\frac{a^6}{b^2}+a^2b^2\ge2\sqrt{\frac{a^6}{b^2}.a^2b^2}=2a^4\)
\(\Rightarrow\frac{a^6}{b^2}\ge2a^4-a^2b^2\). Tương tự rồi cộng lại suy ra:
\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge2\left(a^4+b^4\right)-2a^2b^2\)
\(\ge2\left(a^4+b^4\right)-\left(a^4+b^4\right)=a^4+b^4\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Chứng minh rằng :
\(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) với \(a,b\ne0\)
Áp dụng BĐT AM - GM \(\hept{\begin{cases}\frac{b^6}{a^2}+a^2b^2\ge2b^4\\\frac{b^6}{a^2}+a^2b^2\ge2a^4\end{cases}}\Rightarrow\frac{b^6}{a^2}+\frac{a^6}{b^2}\ge2b^4+2a^4+2a^2b^2\)
Ta lại có: \(2\left(a^4+b^4\right)-2a^2b^2\ge a^4+b^4\)
\(\Rightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4\left(đpcm\right)\)
\(\text{Ta có: a;b}\ne0\text{ nên:}\frac{a^6}{b^2};\frac{b^6}{a^2};a^4;b^4>0\)
\(\text{Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: }\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{a^6}{b^2}+\frac{a^6}{b^2}+b^4\ge3\sqrt[3]{\frac{a^{12}.b^4}{b^4}}=3a^4\\\frac{b^6}{a^2}+\frac{b^6}{a^2}+a^4\ge3\sqrt[3]{\frac{b^{12}.a^4}{a^4}}=3b^4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2VP\ge2VT\Leftrightarrow VP\ge VT\left(\text{điều phải chứng minh}\right)\)
Cậu làm cho tớ cách k cần áp dụng các BĐT đc k ạ ??
a4+b4≤\(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)