Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại

Với pt sau:

Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

Với \(x;y;z\ne0\)

Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)

\(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=xyz\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Có: $x^4+y^4\geq 2x^2y^2\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

Lại có: $x^2y^2+y^2z^2\geq 2xzy^2\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)=xyz$

Vậy $\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq xyz$

Dấu = có khi: $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

a, Áp dụng bất đẳng thức Holder cho 2 bộ số \(\left(x,y,z\right)\left(3;3;3\right)\) ta có:

\(\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)\ge\left(\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{3.3.3}\right)^3=\left(\sqrt[3]{xyz}+3\right)\)

\(\sqrt[3]{\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)}\ge3+\sqrt[3]{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\sqrt{x}=\sqrt{2017}\)

\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2017}}{3}\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3}\right)\)

P/s: Không chắc cho lắm ạ.

Vũ Minh Tuấn, Hoàng Tử Hà, đề bài khó wá, Lê Gia Bảo, Aki Tsuki, Nguyễn Việt Lâm, Lê Thị Thục Hiền,

Học 24h, @tth_new, @Akai Haruma, Nguyễn Trúc Giang, Băng Băng 2k6

Help meeee, please!

thanks nhiều

Aki Tsuki hattori heiji Akai Haruma

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4\ge2x^2y^2\\y^4+z^4\ge2y^2z^2\\x^4+z^4\ge2x^2z^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\)

Lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2+y^2z^2\ge2xy^2z\\x^2y^2+x^2z^2\ge2x^2yz\\y^2z^2+x^2z^2\ge2xyz^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xy^2z+x^2yz+xyz^2\)

\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=xyz\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)