ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b+ab^2=30\\a^3+b^3=35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a^2b+3ab^2=90\\a^3+b^3=35\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=125\Rightarrow a+b=5\)

Cũng từ \(a^2b+ab^2=30\Rightarrow ab\left(a+b\right)=30\Rightarrow ab=\dfrac{30}{a+b}=6\)

Theo Viet đảo, a và b là nghiệm của:

\(t^2-5t+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=...\Rightarrow x;y\)

thầy akai haruma đã giải rồi nhaa <33

Phần a)

\(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)

Khi đó hpt trở thành:

Đặt \((\sqrt{xy}; \sqrt{x}+\sqrt{y})=(a,b)\)

HPT trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} ab=30\\ b(b^2-3a)=35\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=30\\ b^3=125\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=6\\ b=5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\sqrt{xy}=6; \sqrt{x}+\sqrt{y}=5\). Theo định lý Viete đảo thì \(\sqrt{x}; \sqrt{y}\) là nghiệm của pt:

\(T^2-5T+6=0\Rightarrow (\sqrt{x}; \sqrt{y})=(2,3)\) và hoán vị

\(\Rightarrow (x,y)=(4,9)\) và hoán vị

b)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\ (x+y)^2-2xy=6\end{matrix}\right.\)

Đặt \((x+y,xy)=(a,b).\) Khi đó hpt trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a+b=2+3\sqrt{2}\\ a^2-2b=6\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2-2(2+3\sqrt{2}-a)=6\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a=10+6\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow (a+1)^2=11+6\sqrt{2}=(3+\sqrt{2})^2\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=2+\sqrt{2}\\ a=-4-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} b=2\sqrt{2}\\ b=6+4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Với \((a,b)=(2+\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\) theo đl Viete đảo suy ra \((x,y)=(2,\sqrt{2})\) và hoán vị.

Với \((a,b)=(-4-\sqrt{2}, 6+4\sqrt{2})\Rightarrow \) theo đl Viete đảo thì (x,y) là nghiệm của pt: \(T^2+(4+\sqrt{2})T+6+4\sqrt{2}=0\), pt vô nghiệm nên không tồn tại $x,y$

Vậy \((x,y)=(2,\sqrt{2})\) và hoán vị.

\(e,\left\{{}\begin{matrix}\left(\frac{x}{y}\right)^3+\left(\frac{x}{y}\right)^2=12\\\left(xy\right)^2+xy=6\end{matrix}\right.\left(x;y\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=2\\xy\in\left\{2;-3\right\}\end{matrix}\right.\)

Vì \(\frac{x}{y}=2>0\Rightarrow xy>0\Rightarrow xy=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=2\\xy=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2y\\2y^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\left(h\right)\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(a,\left\{{}\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}=3\\x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\left(x;y\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-\frac{x}{y}=3\\\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}=a\\\frac{x}{y}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=3\\a+b=3\end{matrix}\right.\)

Làm nốt nha

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=2\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\left(x;y\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=4\\x+y=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\sqrt{xy-\left(x+y\right)+1}=6\\x+y=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2\sqrt{xy-xy+1}=6\\x+y=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\xy=4\end{matrix}\right.\)

Làm nốt

Vậy nghiệm của hệ phương trình (0; 0), (9; 4), (4; 9)

Đề thi chuyên SP hả em, bài này sử dụng Liên hợp với đánh giá em nhé:

Đầu tiên trừ 2 về mình có là
\(x\sqrt{y+4}+x\sqrt{y+11}-y\sqrt{x+4}-y\sqrt{x+11}=0\)

Từ hệ mình dễ dàng suy ra đc x,y>0

Anh liên hợp cho 1 cái nha

\(x\sqrt{y+4}-y\sqrt{x+4}=\sqrt{x^2y+4x^2}-\sqrt{y^2x+4y^2}=\dfrac{x^2y-y^2x+4x^2-4y^2}{\sqrt{.........}+\sqrt{.......}}=\left(x-y\right).\dfrac{xy+4x+4y}{\sqrt{.........}+\sqrt{............}}\)

Cái kia em cx liên hợp tương tự, đặt x-y của cả 2 cái khi liên hợp xong phương trình sẽ là

\(\left(x-y\right)\left(\dfrac{xy+4x+4y}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}+\dfrac{xy+11x+11y}{\sqrt{........}+\sqrt{.....}}\right)=0\)  Cái trong ngoặc to đùng hiển nhiên >0 với x,y>0. DO đó x-y=0 hay x=y

 EM thế vào phương trình ban đầu thì có \(x\sqrt{x+4}+x\sqrt{x+11}=35\)

Đến đây thì nhẩm đc x=5 thoả mãn em giải bằng đánh giá:

 Với  x=5 suy ra......=35

Với x>5 suy ra......>35

Với x<5 suy ra.....<35

Kết luận đc x=5, do đó y=5

Note: hướng làm em nhé, bổ sung thêm điều kiện xác định linh tinh zô

Xem qua xem hiểu đc đến đâu em nhé

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)

Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)

Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$

$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$

Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)

Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)

Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$

$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$

Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(1)\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 35\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}))(30x-65\sqrt{xy}+30y)=0\)

Nếu $\sqrt{x}+\sqrt{y}=0$ thì từ $(1)$ suy ra $\sqrt{xy}.0=30$ (vô lý)

Nếu $30x-65\sqrt{xy}+30y=0$

$\Leftrightarrow 6x-13\sqrt{xy}+6y=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})(3\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{y}$ hoặc $\sqrt{x}=\frac{2}{3}\sqrt{y}$

Thay lần lượt từng TH vào $(1)\Rightarrow (x,y)=(9,4); (4,9)$

a, ĐK: \(x,y\ge0\)

\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3\sqrt{y}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}=3\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+3}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+3}=x+1\)

\(\Leftrightarrow x+3=x^2+2x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Thay \(x=1\) vào hệ phương trình đã cho ta được \(y=1\)

Vậy pt đã cho có nghiệm \(x=y=1\)

b, \(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2\\x^2+y^2=3\left(x+y\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=y\\x+y=-1\end{matrix}\right.\\x^2+y^2=3\left(x+y\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x^2-3x=0\end{matrix}\right.\left(1\right)\\\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\x^2+y^2=-3\end{matrix}\right.\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=3\\x=y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

c, Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=a\\xy=b\end{matrix}\right.\)

\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+xy=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=7\\a^2-b^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=7\\a-b=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5\\xy=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=9\)

\(\Rightarrow x+y=\pm3\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-3\\xy=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

*Công thức: Biến đổi x theo y và ngc lại và dùng các quy tắc.

a)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=1\\x+\sqrt{3}y=\sqrt{2}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng 2 pt ta đc: x=1

Thay vào (1):\(\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

Vậy (x;y)\(=\left(1;\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\)

Những câu sau làm ttự.

#Walker