Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(abc=\dfrac{9}{4}\). Chứng minh rằng:

\(a^3+b^3+c^3>a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\)

Cho \(f\left(x\right)=x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+1\) (x à biến số, m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của m để đẳng thức \(f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^2\) đúng với mọi số thực x; trong đó a, b là các hằng số.

Cho đường tròn(O;R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP>R. Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn(O;R) tại điểm M (điểm M khác điểm A). Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng OP tại điểm K đường thẳng PM cắt đường thẳng ON tại I; đường thẳng PN và đường thẳng OM cắt nhau tại điểm J. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi x và y ta luôn có: \(\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}\ge x+2y\)

Bài 2. Cho x, y, z là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{x^2+xy+y^2}\sqrt{y^2+yz+z^2}\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)

Bài 3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\)

Bài 3. Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\sqrt{2x^2+3xy+2y^2}\sqrt{2y^2+3yz+2z^2}\sqrt{2z^2+3zx+2x^2}\)

That dấu =>>>>>>> thay dấu

150 ok nha k

cái j` nx =.= 

Cho tam giác có 3 cạnh có độ dài là a, b, c.

Chứng minh rằng: a) \(\sin\dfrac{a}{2}\le\dfrac{a}{\sqrt{bc}}\)

b) \(\sin\dfrac{a}{2}\cdot\sin\dfrac{b}{2}\cdot\sin\dfrac{c}{2}\le\dfrac{1}{8}\)

c) \(\sin\dfrac{a}{2}\cdot\sin\dfrac{b}{2}\cdot\sin\dfrac{c}{2}=\dfrac{1}{8}\) khi tam giác đã cho là tam giác đều.

Cho hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}x+ay=a+1\\ax+y=3a-1\end{matrix}\right.\)

Tìm a để hệ phương trình cố nghiệm duy nhất thoả mãn xy nhỏ nhất,

Cho (d) là đồ thị hàm số của 2(m-1)x + (m-2)y = 2. Chứng minh rằng:

a/ (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.

b/ Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.