\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{bc}\cdot\dfrac{b}{ac}}=\dfrac{2}{cc}\)

\(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{bc}{ca\cdot ab}}=\dfrac{2}{a}\)

\(\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a\cdot c}{a\cdot b\cdot c\cdot b}}=\dfrac{2}{b}\)

=>a/bc+b/ac+c/ab>=2(1/a+1/b+1/c)

Giả sử \(a\ge b\Rightarrow a=b+m\left(m\ge0\right)\)

Ta có :

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\) \(=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1\) \(+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)

\(=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Dấu \("="\) chỉ xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}m=0\\a=b\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) \(\rightarrowđpcm\)

~ Chúc bn học tốt ~

Ta có : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}}\) ( theo bất đẳng thức Cô-si )

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

g​iả​ sử \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\left(a,b>0\right)\)

thì \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge\dfrac{2ab}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) đ​úng​ với​ mọi a,b

Bài​ này​ dạng​ lớp 8 nên chị​ giải​ thế

Chỗ kia là có thêm dấu + nữa nha

*Cách khác

Khá căn bản thôi áp dụng BĐt cosi với 2 số dương

`=>a+(b+c)>=2sqrt{a(b+c)}`

`=>a/(2sqrt{a(b+c)})>=a/(a+b+c)`

`<=>sqrt{a/(b+c)}>=(2a)/(a+b+c)`

CMTT:

`sqrt{b/(c+a)}>=(2b)/(a+b+c)`

`sqrt{c/(a+b)}>=(2c)/(a+b+c)`

`=>sqrt{a/(b+c)}+sqrt{b/(c+a)}+sqrt{c/(a+b)}>=2`

Dấu "=" `<=>a=b=c=0` vô lý vì `a,b,c>0`

Nhân 2 vế cho ab ta có:

`a^2+b^2>=2ab`

`<=>(a-b)^2>=0` luôn đúng

Dấu "=" `<=>a=b`

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{4c^2+ca+4a^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}}\ge1\)

Ta có:

\(\sum\left(\dfrac{a}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}\right)^2\sum a\left(4b^2+bc+4c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a\left(4b^2+bc+4c^2\right)+b\left(4c^2+ac+4a^2\right)+c\left(4a^2+ab+4b^2\right)}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{4a\left(b^2+c^2\right)+4b\left(c^2+a^2\right)+4c\left(a^2+b^2\right)+3abc}\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\) (đúng theo Schur bậc 3)

Áp dụng giả thiết \(ab=1\) và bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{a^2+b^2}{a-b}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}=a-b+\dfrac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(a-b\right)}{a-b}}=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a-b=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\geq 2\sqrt{(a-b).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$

Ta có đpcm.

:)

- Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) (gt)

=>\(ad< bc\) 

=>\(ad+ab< bc+ab\)

=>\(a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

=>\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) (1)

- Ta có: \(\dfrac{c}{d}>\dfrac{a}{b}\) (gt)

=>\(bc>ad\)

=>\(bc+cd>ad+cd\)

=>\(c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\)

=>\(\dfrac{c}{d}>\dfrac{a+c}{b+d}\) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)

\(=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{2c}{\sqrt{2c\left(a+b\right)}}\)

\(\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b+2c}=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+2c\right)}\ge0\)

(đúng hiển nhiên)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$