Question

Cho phân số \(\dfrac{a}{b}\) (a,b >0)

Chứng minh rằng : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

Answer 1

Giải:

Không giảm tính tổng quát

Giả sử \(a\ge b\Rightarrow a=b+m\left(m\ge0\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\)

\(=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)

\(=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\a=b\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) (Đpcm)