Những câu hỏi liên quan
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Trần Tuấn Hoàng
3 tháng 1 2023 lúc 15:16

Em xin giải bài toán kia nhé :)

Trước hết ta có hằng đẳng thức:

\(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5=\left(x+y\right)^5\)

Biến đổi hằng đẳng thức trên:

\(x^5+y^5+5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)=\left(x+y\right)^5\)

\(\Rightarrow x^5+y^5+5xy\left[\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\left(x+y\right)\right]=\left(x+y\right)^5\)

\(\Rightarrow x^5+y^5+5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=\left(x+y\right)^5\) (*)

Quay lại bài toán trên:

Theo BĐT Cauchy ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}\left(1\right)\\2xy\le x^2+y^2\Rightarrow3xy\le x^2+xy+y^2\Rightarrow xy\le\dfrac{x^2+xy+y^3}{3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Vì cả 2 vế của BĐT (1) và (2) đều dương nên lấy \(\left(1\right).\left(2\right)\) ta được:

\(xy\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{6}\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Rightarrow x^5+2023xy.xy\sqrt{xy}+y^5\le x^5+\dfrac{2023}{6}xy.\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\left(3\right)\)

Đặt \(A=x^5+\dfrac{2023}{6}xy.\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\)

\(=\dfrac{6x^5+2023xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+6y^5}{6}\)

\(=\dfrac{6\left[x^5+5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\right]+1993xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{6}\)

Áp dụng (*) ta có:

\(A=\dfrac{6\left(x+y\right)^5+1993xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{6}\left(4\right)\)

Ta có: \(xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}.3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\)

Theo BĐT Cauchy ta có:

\(3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\left[\dfrac{3xy+\left(x^2+xy+y^2\right)}{2}\right]^2=\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2+2xy}{2}\right]^2\left('\right)\)

\(xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(''\right)\)

Từ (') và ('') ta có:

\(3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2+2.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}{2}\right]^2=\left[\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\right]^2=\dfrac{9}{16}\left(x+y\right)^4\)

\(\Rightarrow xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^4\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\le\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^5\left(5\right)\)

Từ (4), (5) ta có:

\(A\le\dfrac{6\left(x+y\right)^5+1993.\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^5}{6}=\dfrac{\dfrac{6075}{16}\left(x+y\right)^5}{6}=\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\) hay 

\(x^5+\dfrac{2023}{6}xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\left(6\right)\)

Từ (3), (6) ta có:

\(x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\)

\(\Rightarrow\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}\le\sqrt[5]{2025}.\dfrac{x+y}{2}\left(1'\right)\)

Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:

\(\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}\left(2'\right)\)

Vì cả 2 vế của (1') và (2') đều dương nên lấy \(\left(1'\right).\left(2'\right)\) ta được:

\(\sqrt{xy}.\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}\le\sqrt[5]{2025}.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(x+y\right)^2}\left(7\right)\)

CMTT ta cũng có:

\(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(y+z\right)^2}\left(8\right)\)

\(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(z+x\right)^2}\left(9\right)\)

Lấy \(\left(7\right)+\left(8\right)+\left(9\right)\) rồi nhân mỗi vế của BĐT mới cho \(\left(x+y+z\right)^2\) ta được:

\(\left(x+y+z\right)^2\left(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\right)\)\(\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}}\left(x+y+z\right)^2\left[\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\right]\left(10\right)\)

Theo BĐT Cauchy ta có:

\(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2}}\)

\(\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\left(\dfrac{x+y+y+z+z+x}{3}\right)^3\right]^2}}\)

\(=3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)\right]^6}}=3.\dfrac{1}{\left[\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)\right]^2}=\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\ge\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}\left(11\right)\)

Từ (10) và (11) ta có:

\(\left(x+y+z\right)^2\left(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\right)\)

\(\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2023+2}}.\left(x+y+z\right)^2.\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{27}{\sqrt[5]{2023+2}}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

 

 

Bình luận (4)
Bảo Chu Văn An
1 tháng 1 2023 lúc 20:17

lâu rồi không gặp a, chúc mừng năm mới a, mà cái phương trình này lớp 9 còn e mới lớp 8 :)))))))))))))))

Bình luận (1)
Ngô Hải Nam
1 tháng 1 2023 lúc 20:17

chúc anh năm mới vui vẻ

nhưng....

Bình luận (2)
Hà Đức Thọ
Xem chi tiết
Lê Minh Quang
31 tháng 12 2023 lúc 21:49

Chúc mừng năm mới!

Bình luận (0)
Tieen Ddat dax quay trow...
31 tháng 12 2023 lúc 21:57

3p nx 10h đêm

Bình luận (0)
Tryechun🥶
31 tháng 12 2023 lúc 21:58
Ya ❗❗ Hôm nay là ngày 31-12-2023.Ngày cuối cùng của năm 2023 rồi nè!

Có thể nói năm 2023 khép lại với đầy ý nghĩa và biến cố ngỡ ngàng.. để mở ra một năm 2024 sẽ đầy khó khăn và thử thách hơn,mong rằng năm 2024 sẽ mở ra thật nhiều cơ hội cho tất cả mọi người,các bạn đã sẵn sàng chưa nè ? 

Cuối năm rồi ai có những buồn phiền hay những cảm xúc tiêu cực thì xua tan đi nhé<3 Tớ cũng cảm ơn hoc24 rất nhiều cảm ơn các bạn trên hoc24 đã chia sẽ niềm vui,hạnh phúc cho tớ!Hy vọng rằng khi năm 2023 trôi qua,khi đón chào một năm 2024 thì hoc24 vẫn sẽ hoạt động sôi nỗi như mọi khi💞💞

Chúc các bạn một năm 2024 an lành,càng ngày học giỏi,đạt nhiều thành tích tốt❣ (Chúc riêng ai đó càng ngày càng chinh đẹp hơn😣)

Bình luận (1)
Pham Thi Lam
Xem chi tiết
Quách Quách Cá Tính
13 tháng 1 2019 lúc 18:53

cảm ơn bạn nha

Bình luận (0)
︵✰Ah
Xem chi tiết

Cảm ơn anh :33

Bình luận (0)
Dark_Hole
8 tháng 3 2022 lúc 8:03

Cũng nhân đây a đăng lên, chúc mn 8/3 =)

Bình luận (6)

Em cảm ơn ạ <3

Bình luận (0)
Trần Thị Quỳnh Phương
Xem chi tiết
Saki Clover
8 tháng 3 2016 lúc 14:17

mk cx chúc các bn nữ lun thuận lợi trong cuộc sống!!!!!!!!!

Bình luận (0)
Phạm Hà Vy
8 tháng 3 2016 lúc 14:25

cảm ơn bạn hiền nha ^_^

Bình luận (0)
Nguyễn Hải Nam
26 tháng 1 2022 lúc 9:31

mình là con trai nhưng cũng chúc bạn luôn tươi trẻ và đẹp nhé

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thị Thanh
Xem chi tiết
Phạm Thị Hà Phương
31 tháng 12 2016 lúc 16:27

hay lắm ạ

Bình luận (0)
Nguyễn Ngọc Hà Phương
31 tháng 12 2016 lúc 16:28

sao mà hay thế 

kết bạn nha

Bình luận (0)
ngô thế trường
31 tháng 12 2016 lúc 16:29

ý nghĩ của mình cũng giống như bạn vậy đó

y hệt bạn

tớ cũng muốn như thế đấy

k nhé

chúc cậu năm mới 2017 hạnh phúc,ấm no bên gia đình

Bình luận (0)
Nguyễn Thủy Tiên
Xem chi tiết
BichPhuong2k9
20 tháng 10 2021 lúc 19:43

Thank you bạn nhoa

Bình luận (0)
Nguyễn Mai Lan
20 tháng 10 2021 lúc 19:47

thank thả cho một tim nè 

Bình luận (0)
chuche
Xem chi tiết
Long Sơn
20 tháng 10 2021 lúc 20:17

ok

Bình luận (0)
Châu Chu
20 tháng 10 2021 lúc 20:17

Ngày hôm nay tui vừa thất tình xonggg😢😢😢😢

Bình luận (12)
VyLinhLuân
20 tháng 10 2021 lúc 20:17

milk cũng chúc bn vậy ha

Bình luận (1)
Lê Thu Dương
Xem chi tiết
Minh Nhân
1 tháng 7 2021 lúc 19:25

Giám khảo khách mời Quang Nhân, với cương vị là một người từng trải qua nhiều thăng trầm trong cuộc sống, sẽ cho các bạn nhiều lời khuyên bổ ích :)) Còn lo lắng gì mà không tham gia ngay nàooo

Bình luận (2)
Kiêm Hùng
1 tháng 7 2021 lúc 19:26

Bạn Dương không nói mình trước 1 tiếng ._. Buồn :((((

Mà tại sao ngoài 2 việc trên, mình không đưa ra phương án là viết một bài và gửi qua email ban tổ chức ( cách nãy có vẻ dễ hơn nè!!!)

 

Bình luận (3)
minh nguyet
1 tháng 7 2021 lúc 19:26

Mạnh làm kế toán cơ á

Bình luận (2)