Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
btkho
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 1 2021 lúc 0:05

\(\Leftrightarrow1+b^2+a^2\left(b^3+b\right)\le\left(2b^3+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3+2\)

\(\Leftrightarrow\left(b^3-b+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3-b^2+1\ge0\)

Xét tam thức bậc 2: \(f\left(a\right)=\left(b^3-b+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3-b^2+1\)

Ta có: \(b^3+2-b\ge3b-b=2b>0\)

\(\Delta'=\left(b^3+1\right)^2-\left(b^3-b+2\right)\left(2b^3-b^2+1\right)\)

\(\Delta'=-\left(b-1\right)^2\left(b^4+b^3-b^2+b+1\right)\le0\) ; \(\forall b>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge0\) ; \(\forall a\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\)

GV
Xem chi tiết
Nguyễn thành Đạt
18 tháng 2 2023 lúc 20:46

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\) ( dấu "=" xảy ra ⇔ a=b )

Ship Mều Móm Babie
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
20 tháng 12 2020 lúc 18:43

\(VT=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le_{AM-GM}\dfrac{a+b+a+c}{2}+\dfrac{b+c+b+a}{2}+\dfrac{c+a+c+b}{2}=2\left(a+b+c\right)=VP\) (đpcm)

Huy Hoang
23 tháng 1 2021 lúc 20:38

Đầy đủ hơn 1 tí nhé

Theo gt : ab + bc + ca = 1 nên a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca

                                                            = ( a + b )( a + c )

- Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\)

- Tương tư ta cũng có : 

\(\sqrt{b^2+1}\le\frac{\left(b+a\right)+\left(b+c\right)}{2}\)và \(\sqrt{c^2+1}\le\frac{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)

Từ đó suy ra : VT \(\le\frac{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+a\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)

                                   \(\le2\left(a+b+c\right)=VP\left(đpcm\right)\)

Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
Xem chi tiết
alibaba nguyễn
31 tháng 3 2021 lúc 13:53

Đề phải là số thực không âm mới đúng

Khách vãng lai đã xóa
Thương Thương
Xem chi tiết
Cung Phy Ủy Ngư
19 tháng 3 2019 lúc 21:20

a2≤ 2a2 ; b2≤ 2b2

=> a2 + b2 ≤ 2a2 + 2b2 ( = 2 ( a2 + b2 ) )

Trần Thanh Phương
19 tháng 3 2019 lúc 21:20

\(\left(a^2+b^2\right)\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2a^2-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-a^2-b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a^2+b^2\right)\le0\)

\(a^2+b^2\ge0\Rightarrow-\left(a^2+b^2\right)\le0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0\)

hoàng ngân
Xem chi tiết
Trần Việt Linh
2 tháng 8 2016 lúc 12:31

Có: \(-\left(a-b\right)^2\le0\) với mọi x

=> \(-a^2+2ab-b^2\le0\)

=>\(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\) (cộng cả 2 vế với \(2a^2;2b^2\))

=>\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

thanh ngọc
2 tháng 8 2016 lúc 12:32

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\)

dấu "=" xẩy ra khi  và chỉ khi a=b

Nguyễn Thị Anh
2 tháng 8 2016 lúc 12:34

ta có : \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

<=>\(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

<=> \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2\ge0\) bất đẳng thức luôn đúng 

=> ĐPCM

 ☘ Nhạt ☘
Xem chi tiết
Trần Phúc Khang
13 tháng 11 2019 lúc 5:41

Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Nên ta cần CM \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge a^3+b^3+c^3\)

Theo đề bài ta có

\(a\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)=> \(a^3\le3a^2-2a\)

Tương tự với b,c => \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)

\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\)=> \(ab\ge2\left(a+b\right)-4\)

Tương tự => \(ab+bc+ac\ge4\left(a+b+c\right)-12\)

Khi đó BĐT <=>

\(a^2+b^2+c^2+4\left(a+b+c\right)-12\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)

<=> \(3\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-6\)

<=>\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\left(b-1\right)\left(b-2\right)+\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)(luôn đúng với giả thiết)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(2;2;2\right),\left(2;2;1\right),....\)và các hoán vị

Khách vãng lai đã xóa
Kiệt Nguyễn
17 tháng 2 2020 lúc 9:27

Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Nên \(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge a^3+b^3+c^3\)

Ta có \(a\left(a-2\right)\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow a^3\le3a^2-2a\)

Tương ta ta có: \(b^3\le3b^2-2b;c^3\le3c^2-2c\)

Cộng từng vế của các bđt trên: \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)

Đặt \(\)\(K=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)

Ta lại có 

\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le3a-2\)

Tương tự \(b^2\le3b-2;c^2\le3c-2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\left(a+b+c\right)-6\)(1)

\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Leftrightarrow ab\ge2a+2b-4\)

Tương tự \(bc\ge2b+2c-4;ca\ge2c+2a-4\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge4\left(a+b+c\right)-12\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K\le6\left(a+b+c\right)-12-2\left(a+b+c\right)\)

\(-\left[4\left(a+b+c\right)-12\right]=0\)

\(K\le0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)

\(\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

hay \(\text{Σ}_{cyc}a^2+\text{Σ}_{cyc}ab+3\text{Σ}_{cyc}\left(a+b\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)\in\left(2;2;1\right)\)và các hoán vị hoặc \(a=b=c=2\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thu Hoài
Xem chi tiết
Hoàng Lê Bảo Ngọc
8 tháng 12 2016 lúc 10:59

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) (1)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(1\le a\le b\le2\). Ta có \(\frac{a}{b}\le1\)\(2\ge b\) , \(a\ge1\) \(\Rightarrow2a\ge b\Rightarrow\frac{a}{b}\ge\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{a}{b}\le1< 2\)

Ta có : \(\left(2-\frac{a}{b}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{b}\right)\le0\Rightarrow1-\frac{2a}{b}-\frac{a}{2b}+\frac{a^2}{b^2}\le0\)

\(\Rightarrow1+\frac{a^2}{b^2}\le\frac{5}{2}.\frac{a}{b}\)\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le\frac{5}{2}\) (2) (chia hai vế cho \(\frac{a}{b}\) ) 

Từ (1) và (2) ta suy ra \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}\)

nguyenvankhoi196a
20 tháng 11 2017 lúc 19:39

a + b a 1 + b 1 = 2 + b a + a b (1) Không mất tính tổng quát, ta giả sử 1 ≤ a ≤ b ≤ 2. Ta có b a ≤ 1; 2 ≥ b , a ≥ 1 ⇒2a ≥ b⇒ b a ≥ 2 1 ⇒ 2 1 ≤ b a ≤ 1 < 2 Ta có : 2 − b a 2 1 − b a ≤ 0⇒1 − b 2a − 2b a + b 2 a 2 ≤ 0 ⇒1 + b 2 a 2 ≤ 2 5 . b a ⇒ b a + a b ≤ 2 5 (2) (chia hai vế cho b a ) Từ (1) và (2) ta suy ra a + b a 1 + b 1 ≤ 2 + 2 5 = 2 9 (

mk nghĩ vậy

Đào Thu Hoà
10 tháng 6 2019 lúc 23:27

Cách khác :

Vì \(a,b\in\left[1;2\right]\)nên \(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0;\left(b-1\right)\left(b-2\right)\le0\)

Suy ra \(a^2+2\le3a;b^2+2\le3b\)hay \(a+\frac{2}{a}\le3;b+\frac{2}{b}\le3\)

\(\Rightarrow6\ge\left(a+b\right)+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)\)(1)

Mặt khác \(\left(a+b\right)+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)}\)(Bất đẳng thức AM-GM)  (2) 

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)}\le3\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le\frac{9}{2}\)

Nguyễn Tuấn Minh
Xem chi tiết