Vậy là cuộc thi do mình tổ chức lần thứ hai đã chính thức khép lại, sau đây là kết quả của Vòng 3 - vòng chung kết ( thầy @phynit )

1. @Nhật Minh_21đ

2. @Đoàn Đức Hiếu_21đ

3. Đức Cường_20,75đ

4. @Như Khương Nguyễn_20đ

5. Thảo Phương_20đ

6. @Tran Tho dat_20đ

7. Nguyễn Hải Dương_19,75đ

8. @Feed Là Quyền Công Dân_19đ

Các bạn trên đều làm bài rất tốt, 5 bạn còn lại không nộp bài nên mình không có kết quả.

Sau đây là giải thưởng:

1. Giải nhất thuộc về bạn @Nhật Minh

- Chúc mừng bạn đã nhận được thẻ cào 100k + 20 GP

2. Giải nhì thuộc về bạn @Đoàn Đức Hiếu

- Chúc mừng bạn đã nhận được thẻ cào 50k + 15 GP

3. Giải ba thuộc về bạn Đức Cường

- Chúc mừng bạn đã nhận được 15 GP

Cảm ơn các bạn đã ủng hộ cuộc thi của mình, mình sẽ cố gắng hoàn thiện cuộc thi cũng như bản thân để cuộc thi tiếp theo do mình tổ chức sẽ có chất lượng tốt hơn.

Chúc các bạn có một mùa hè vui vẻ!

_Nguyễn Huy Tú_

Đáp án đề thi vòng 2:

Bài 1:
a, Ta có: \(2\left|x-3\right|\ge0\)

\(\Rightarrow-2\left|x-3\right|\le0\)

\(\Rightarrow A=9-2\left|x-3\right|\le9\)

Dấu " = " xảy ra khi \(2\left|x-3\right|=0\Rightarrow x=3\)

Vậy \(MAX_A=9\) khi \(x=3\)

b, Ta có: \(B=\left|x-2\right|+\left|x-8\right|=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:
\(B=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\ge\left|x-2+8-x\right|=\left|6\right|=6\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\8-x\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow2\le x\le8\)

Vậy \(MIN_B=6\) khi \(2\le x\le8\)

Bài 2:
a, Ta có: \(a^3+b^3+c^3=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^3+c^3=-a^3\\a^3+b^3=-c^3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3b^3+2b^3c^3+3c^3a^3=a^3b^3+c^3a^3+2c^3a^3+2b^3c^3\)

\(=a^3\left(b^3+c^3\right)+2c^3\left(a^3+b^3\right)\)

\(=a^3\left(-a^3\right)+2c^3\left(-c^3\right)=-a^6-2c^6\le0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b, Ta có: \(\sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=8-1=\sqrt{61-1}< \sqrt{65}-1\)

Vậy \(\sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{65}-1\)

Bài 3:

a, Giải:

Gọi 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 là a, b, c và 3 chiều cao tương ứng là x, y, z \(\left(a,b,c,x,y,z>0\right)\)

Ta có: \(2S=ax=by=cz\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2}x.2=\dfrac{b}{3}y.3=\dfrac{c}{4}z.4\)

\(\Rightarrow2x=3y=4z\)

\(\Rightarrow\dfrac{2x}{12}=\dfrac{3y}{12}=\dfrac{4z}{12}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3}\)

Vậy 3 chiều cao tương ứng của 3 cạnh đó tỉ lệ với 6, 4, 3

b, Giải:

Gọi hai số cần tìm là \(x,y\left(x,y\ne0;x>y\right)\)

Ta có: \(\dfrac{x+y}{4}=\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{xy}{45}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x+y}{4}=\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{x+y-x+y}{4-1}=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{xy}{45}\)

Tương tự \(\Rightarrow\dfrac{2x}{5}=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{xy}{45}\)

\(\Rightarrow18x=30y=xy\)

\(\Rightarrow x=30,y=18\)

Vậy x = 30, y = 18

Bài 4:

Giải:

Gọi H là trung điểm của cạnh AC. K là giao điểm của BE và DH

Ta có: DH // AB, \(DH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{AC}{2}\)

Xét \(\Delta EDK,\Delta EBA\) có:

\(\widehat{DEK}=\widehat{AEB}\) ( đối đỉnh )

ED = EA ( gt )

\(\widehat{EDK}=\widehat{EAB}\) ( so le trong do DH // AB )

\(\Rightarrow\Delta EDK=\Delta EAB\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow DK=AB\) ( cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow DH=\dfrac{DK}{2}\)

\(\Rightarrow\)H là trung điểm của DK

\(\Delta MDK\) vuông tại M, MH là trung tuyến \(\Rightarrow MH=\dfrac{DK}{2}\)

\(\Rightarrow MH=\dfrac{AC}{2}\)

\(\Delta MAC\) có MH là đường trung tuyến và \(MH=\dfrac{AC}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta MAC\) vuông tại M

\(\Rightarrow AM\perp MC\left(đpcm\right)\)

Bài 5:

a, Giải:
p, q là các số nguyên tố lớn hơn 2

\(\Rightarrow p,q\) là số lẻ

Đặt \(p+q=2a\left(a\in N^{\circledast}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{p+q}{2}=a\)

Vì p < q \(\Rightarrow p+p< p+q< q+q\)

\(\Rightarrow2p< 2a< 2q\)

\(\Rightarrow p< a< q\)

Mà p, q là hai số nguyên tố liên tiếp

\(\Rightarrow\)a là hợp số

Vậy \(\dfrac{p+q}{2}\) là hợp số

b, Vì \(x,y\in N^{\circledast}\Rightarrow100x+43\le100x+100y\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^5\le100\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^4\le100< 4^4\)

\(\Rightarrow x+y< 4\)

Mà \(x+y\ge2\left(x,y\in N^{\circledast}\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=2\\x+y=3\end{matrix}\right.\)

+) \(x+y=2\Rightarrow x=y=1\) ( thỏa mãn )

+) \(x+y=3\)

\(\Rightarrow x=2,y=1\) ( thỏa mãn )

\(\Rightarrow x=1,y=2\) ( không thỏa mãn )

Vậy \(x=y=1\) hoặc \(x=2,y=1\)

Vòng 2 đã kết thúc, các bạn sau đây đã xuất sắc vượt qua vòng 2 và được thi vòng 3: ( thầy @phynit )

1. Đức Cường_21đ ( +1đ vào vòng 3 )

2. @soyeon_Tiểubàng giải_21đ ( +1đ vào vòng 3 )

3. Nguyễn Hải Dương_21đ ( +1đ vào vòng 3 )

4. @Như Khương Nguyễn_21đ ( +1đ vào vòng 3 )

5. Nguyễn Thị Huyền Trang_21đ ( +1đ vào vòng 3 )

6. @Trần Hoàng Nghĩa_21đ ( +1đ vào vòng 3 )

7. @Tran Tho dat_21đ ( +1đ vào vòng 3 )

8. @Bùi Hà Chi_21đ ( +1đ vào vòng 3 )

9. @Phạm Nguyễn Tất Đạt_20,5đ

10. Thảo Phương_20,5đ

11. Nhật Minh_20đ

12. Đoàn Đức Hiếu_20đ

13. @Feed Là Quyền Công Dân_20đ

Các bạn trên hãy tham gia thi vòng 3 tại 3/6/2017

Chúc các bạn thi tốt!

Thông báo mở " Vòng 2 - Cuộc thi toán do Nguyễn Huy Tú tổ chức, Lần 2 "

Link làm bài: Vòng 2 | Học trực tuyến

Thời gian: 30/5/2017 - 1/6/2017

Sau vòng 2 sẽ loại 50 bạn có số điểm thấp hơn, bạn nào làm đúng tất cả thì +1đ vào vòng 3

Chúc các bạn thi tốt!

*Mình đăng lại!

Đáp án đề thi vòng 1:

Bài 1:

a, \(A=\dfrac{50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17}}{100-\dfrac{8}{13}+\dfrac{4}{15}-\dfrac{4}{17}}=\dfrac{50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17}}{2\left(50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17}\right)}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(A=\dfrac{1}{2}\)

b, \(B=\dfrac{1}{19}+\dfrac{9}{19.29}+\dfrac{9}{29.39}+...+\dfrac{9}{1999.2009}\)

\(=\dfrac{9}{9.19}+\dfrac{9}{19.29}+\dfrac{9}{29.39}+...+\dfrac{9}{1999.2009}\)

\(=\dfrac{9}{10}\left(\dfrac{10}{9.19}+\dfrac{10}{19.29}+\dfrac{10}{29.39}+...+\dfrac{10}{1999.2009}\right)\)

\(=\dfrac{9}{10}\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{19}+\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{29}+\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{39}+...+\dfrac{1}{1999}-\dfrac{1}{2009}\right)\)

\(=\dfrac{9}{10}\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{2009}\right)\)

\(=\dfrac{200}{2009}\)

Vậy \(B=\dfrac{200}{2009}\)

Bài 2:

a, Giải:

Ta có: \(\left(\dfrac{b}{3c}\right)^3=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{3c}.\dfrac{c}{9a}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow\left(\dfrac{b}{3c}\right)^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{3c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow b=c\left(đpcm\right)\)

b, Ta có: \(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{4.6}+...+\dfrac{1}{2013.2015}+\dfrac{1}{2014.2016}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{4.6}+...+\dfrac{2}{2013.2015}+\dfrac{2}{2014.2016}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+...+\dfrac{2}{2013.2015}\right)+\left(\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{4.6}+...+\dfrac{2}{2014.2016}\right)\right]\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2013}-\dfrac{1}{2015}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{2014}-\dfrac{1}{2016}\right)\right]\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(1-\dfrac{1}{2015}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2016}\right)\right]\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}\right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2.2015}-\dfrac{1}{2.2016}< \dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Bài 3:
a, \(VP=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2=VT\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b, Giải:

a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên \(a+b>c,a+c>b,b+c>a\) ( bất đẳng thức tam giác )

\(\Rightarrow a+b-c>0,a-b+c>0,-a+b+c>0\) (*)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\\b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\\c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\le a^2\\\left(b+c-a\right)\left(b-c+a\right)\le b^2\\\left(c+a-b\right)\left(c-a+b\right)\le c^2\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (*) ta có: \(\left[\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\le abc\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\le abc\)

Bài 4:

Giải:

Vẽ \(CD\perp BI\) tại D, CD cắt AB tại E

\(\Delta BCE\) cân tại B do BD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác

\(\Rightarrow BD\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta BCE\)

\(\Rightarrow BE=BC,CE=2CD\)

Mặt khác: \(\widehat{BIC}=180^o-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)\)

\(=180^o-\left(\dfrac{\widehat{ABC}}{2}+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\right)=135^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DIC}=45^o\Rightarrow\Delta DIC\) vuông cân tại D

Do đó \(CI^2=DI^2+CD^2=2CD^2\)

Ta có: \(AE=BE-AB=BC-AB\)

\(\Delta ACE\) vuông tại A \(\Rightarrow CE^2=AE^2+AC^2\)

\(\Rightarrow4CD^2=\left(BC-AB\right)^2+AC^2\)

\(\Rightarrow2CI^2=\left(BC-AB\right)^2+AC^2\)

\(\Rightarrow CI^2=\dfrac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy \(CI^2=\dfrac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}\)

Bài 5:

a, Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:

\(\left|x-2013\right|+\left|x-2016\right|=\left|x-2013\right|+\left|2016-x\right|\ge x-2013+2016-x=3\)

Kết hợp với giả thiết, ta có:

\(\left|x-2014\right|+\left|y-2015\right|\le0\)

Điều này chỉ xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2014\right|=0\\\left|y-2015\right|=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2014\\y=2015\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|+\left|y-2015\right|+\left|x-2016\right|=3\), ta thấy thỏa mãn

Vậy \(x=2014,y=2015\)

b, Giải:

Giả sử không có hai số nào trong 2013 số tự nhiên \(a_1,a_2,...,a_{2013}\) bằng nhau

Do đó, ta có: \(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2013}}\le1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2013}< 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2}=1+1006=1007\)

Mâu thuẫn với giả thiết

Vậy ít nhất hai trong 2013 số tự nhiên đã cho bằng nhau.

Vậy là vòng 1 trong cuộc thi toán do Nguyễn Huy Tú tổ chức đã qua. Những bạn sau đây là những bạn đã xuất sắc vượt qua vòng 1 và được thi vòng 2:

1. @Lưu Thị Thảo Ly_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

2. @Như Khương Nguyễn_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

3. @Bùi Hà Chi_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

4. @Tran Tho dat_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

5. Nguyễn Thị Huyền Trang_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

6. @Nguyễn Phương Trâm_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

7. @Mai Hà Chi_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

8. @Phạm Nguyễn Tất Đạt_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

9. @Trần Hoàng Nghĩa_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

10. @Nguyễn Xuân Tiến 24_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

11. NĐT2K4_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

12. Kuro Kazuya_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

13. Đức Cường_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

14. Thảo Phương_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

15. @Lovers_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

16. @soyeon_Tiểubàng giải_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

17. @Ngô Tấn Đạt_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

18. Nguyễn Hải Dương_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )

19. HÀ MINH HIẾU_19,75 điểm 20. Đoàn Đức Hiếu_19,5 điểm 21. ngonhuminh_19,5 điểm 22. DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG_18,25 điểm 23. Đinh Đức Hùng_18 24. Kirigawa Kazuto_18 25. Black Pink_18 26. Nguyễn Thanh Hằng_18 27. Trịnh Trân Trân_18 28. Nhật Minh_18 29. Ace Legona_17,5 30. Hoang Thiên Di_17 31. Mình làm quen với bạn_16 32. Võ Đông Anh Tuấn_15 33. Hiếu Cao Huy_15 34. Feed Là Quyền Công Dân_14,5 35. Hoàng Ngọc Anh_14 36. Mới vô_14 37. Evil Yasuda_13,5 38. Truy kích_13 39. Tâm Trần Huy_12,5 40. lê thị hương giang_12,5 41. Lê Nguyên Hạo_12,25 42. híp_12 43. Trần Thiên Kim_12 44. Dương Yến Tử_12 45. tịnh tịnh_11,5 46. Bastkoo_11 47. Hoàng Tuấn Đăng_10 48. Quê Sóc Trăng_10 49. Phạm Tú Uyên_10 50. Nguyễn Thị Anh_9 51. Nguyễn Tim Khái_9 52. Dương_9 53. Ngọc Lan_8,25 54. Vị Thần Lang Thang_8 55. Phạm Phương Anh_8 56. Alone_8 57. Đào Thị Huyền_8 58. Sherlockichi Kudoyle_8 59. Tuấn Anh Phan Nguyễn_7 60. Trần Hà Quỳnh Như_6 61. Kudo Shinichi_6 62. nguyễn Thị Bích Ngọc_6 63. An Nguyễn_6 Chúc mừng 63 bạn trên đã vượt qua vòng 1, các bạn hãy làm vòng 2 vào ngày 30/5/2017 Chúc các bạn thi tốt!

Cuộc thi toán do Nguyễn Huy Tú tổ chức - Lần 2

Được sự đồng ý của thầy @phynit, sau đây mình xin tổ chức cuộc thi toán:

Mình sẽ lấy 120 bạn đầu tiên đăng kí ( hãy nhanh tay đăng kí nhé )

Luật thi:

- Vòng 1: Chọn ra 60 bạn có số điểm cao, bạn nào xuất sắc làm đúng tất cả thì +1đ vào vòng sau.

Thời gian: 21/5/2017 đến 28/5/2017 - Vòng 2: Chọn ra 40 bạn có số điểm cao , bạn nào xuất sắc làm đúng tất cả thì +1đ vào vòng sau. Thời gian: 30/5/2017 đến 7/6/2017 - Vòng 3 - vòng chung kết: Trận đấu giữa 10 bạn xuất sắc. Thời gian: 9/6/2017 đến 16/6/2017 Lưu ý: - Đề thi là dạng toán nâng cao lớp 7 nên các bạn không quan trọng lớp 6 hay 7 hay 8 hay 9 đều có thể tham gia cuộc thi. - Sẽ có link riêng để gửi bài thi. - Có thể viết bài vào giấy, chụp lên rồi gửi bài hoặc làm trực tiếp trên link. Cách thức đăng kí: Tên: ........................ Lớp: ................... Link của nik: .................. ( VD: hoc24.vn/vip/tulatu2004 ) Phần thưởng: 1. Giải nhất: Thẻ cào 100k + 20GP 2. Giải nhì: Thẻ cào 50K + 15 GP 3. Giải ba: +15 GP