HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm max của \(P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm max của P=\(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\)
1)a)Ta có:\(a^3-13a=a^3-a-12a=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)-12a\)
Ta có:\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮\)2 và 3;\(12a⋮6\)
Mà (2;3)=1\(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)-12a⋮6\left(đpcm\right)\)
b)Hình như đề sai
Đặt \(n^2-18n-10=k^2\)(k\(\in N\))
\(\Leftrightarrow\left(n-9\right)^2-91=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n-9-k\right)\left(n-9+k\right)=91\)
Vì \(\left(n-9\right)^2-91=k^2\)
\(\Rightarrow n-9>k>0\);n-9-k<n-9+k
Xét 2 TH
\(A=\dfrac{1}{\dfrac{16}{a^2}}+\dfrac{1}{\dfrac{4}{b^2}}+\dfrac{1}{c^2}\)
\(A\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(A\ge\dfrac{49}{\dfrac{16}{1}}=\dfrac{49}{16}\)
"="<=>\(c^2=2b^2=4a^2\)
Đặt \(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
\(A=\dfrac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\)
\(A>2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right)\)
\(A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(A>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Cần cm:\(2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\)
\(\Leftrightarrow4\left(n+1\right)+4-8\sqrt{n+1}>n\)
\(\Leftrightarrow3n+8>8\sqrt{n+1}\)
Lại có:\(8\sqrt{n+1}\le2\left(n+1\right)+8=2n+10\le3n+8\)(AM-GM)
Dấu "=" không xảy ra
=>đpcm
còn cần không nếu cần thì chịu khó đăng lại