1) Gọi \(f\left(x\right)=3x^3+bx^2+cx+d\)

Ta có: \(f\left(1\right)=3+b+c+d=-1\Rightarrow b+c+d=-4\left(1\right)\)

Lại có: \(f\left(2\right)=24+4b+2c+d=2\Rightarrow4b+2c+d=-22\left(2\right)\)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow3b+c=-18\)

Mặt khác: \(f\left(10\right)-f\left(-7\right)=3.1000+100b+10c+d+343-49b+7c-d\)

\(=3343+17.\left(3b+c\right)=3343-17.18=3037\)

Câu 2 tương tự

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{c-2}}{c}+\dfrac{\sqrt{a-3}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}\)

Ta có: \(\dfrac{\sqrt{c-2}}{c}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow\left(\sqrt{c-2}-\sqrt{2}\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng)

Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{a-3}}{a}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}};\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow y\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4}\) và dấu ''='' xảy ra khi c = 4; a = 6; b = 8

Ta có: \(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-5}=x-1\) (ĐK: \(x\ge\sqrt{5}\) )

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+7-16}{\sqrt{x^2+7}+4}-\dfrac{x^2-5-4}{\sqrt{x^2-5}+2}-\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+7}+4}-\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2-5}+2}-1\right)=0\)

Dễ thấy: \(\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+7}+4}-\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2-5}+2}-1\ne0\)

\(\Leftrightarrow x=3\left(TM\right)\)

Xin lỗi bạn, sai ng^o rồi.

Thôi thì làm cách khác nhanh hơn nhé

Xét \(y=0\) \(\Rightarrow x=0\)

Xét \(y=1\) \(\Rightarrow\) Loại

Xét \(y\ne0;1\) \(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=2011^y\)

Nếu x lẻ \(\Rightarrow\) vế trái là số chẳn mà vế phải là số lẻ \(\Rightarrow\) Vô lí

Nếu x chẳn

Gọi d là UCLN( x+1; x²+1)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1⋮d\\x^2+1⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x⋮d\\x^2+1⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-1⋮d\)

Mà \(x+1⋮d\) \(\Rightarrow x+1-\left(x-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\) mà x chẳn nên x +1; x² +1 là số lẻ

\(\Rightarrow d=1\) hay \(x+1;x^2+1\) à 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\) Vô lí

Khuya rồi, lm hơi tắt, có j hỏi tiếp

+) Xét y < 0 \(\Rightarrow2011^y\) luôn là phân số

Mà \(x^3+x^2+x+1\) luôn là số nguyên \(\forall x\in Z\)

\(\Rightarrow\) Vô lí

+) Xét y > 0

\(\Rightarrow x^3+x^2+x+1-2011^y=0\)

Áp dụng công thức nghiệm bậc 3 \(\Rightarrow\) Không có nghiệm x nguyên

+) Xét y = 0 \(\Rightarrow x=-1\left(TM\right)\)

Vậy ..................

Khá phổ biến!

\(\sqrt{1+2016^2+\dfrac{2016^2}{2017^2}}+\dfrac{2016}{2017}=\sqrt{\left(2016+1\right)^2-2.2016+\dfrac{2016^2}{2017^2}}+\dfrac{2016}{2017}\) \(=\sqrt{2017^2-2.2016+\dfrac{2016^2}{2017^2}}+\dfrac{2016}{2017}=\sqrt{\left(2017-\dfrac{2016}{2017}\right)^2}+\dfrac{2016}{2017}\)

\(=2017-\dfrac{2016}{2017}+\dfrac{2016}{2017}=2017\)

Chừ ms onl nên ko bt

Ta có: \(X=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(=1+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xyz}\right)\)

\(\ge1+\dfrac{9}{x+y+z}+\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}+\dfrac{1}{xyz}\right)\)

\(=10+\dfrac{2}{xyz}\) ( Do \(x+y+z=1\) )

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3\ge xyz\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{xyz}\ge27\)

\(\Rightarrow X\ge10+27.2=64\)

\(\Rightarrow\) Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)