\(x^2+2\left(2m-1\right)x+3\left(m^2-1\right)=0\)

\(a,\) Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow\left[2\left(2m-1\right)\right]^2-4\left[3\left(m^2-1\right)\right]\ge0\)

\(\Rightarrow4\left(4m^2-4m+1\right)-4\left(3m^2-3\right)\ge0\)

\(\Rightarrow16m^2-16m+4-12m^2+12\ge0\)

\(\Rightarrow4m^2-16m+16\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2m-4\right)^2\ge0\)

Vậy pt có nghiệm với mọi m.

b, Theo viét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(2m-1\right)\\x_1x_2=3\left(m^2-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m+2\\x_1x_2=3m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{-2+x_1+x_2}{4}\\x_1x_2=3\left(\dfrac{-2+x_1+x_2}{4}\right)^2-3\end{matrix}\right.\)

Vậy......

- Xét phương trình đề cho có :

\(\Delta^,=b^{,2}-ac=\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-2m+1-m+2\)

\(=m^2-3m+3\ge\dfrac{3}{4}>0\)

- Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\2x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1+x_2-2x_1x_2=2m-2-2m+4=2\)

Câu a của bài này rất vô lý vì lớp 9 chưa học cách xác định nghiệm của BPT bậc 2.

\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)=m^2-12m+16\)

a.

Phương trình có 2 nghiệm pb khi:

\(m^2-12m+16>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6+2\sqrt{5}\\m< 6-2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

b.

Khi pt có 2 nghiệm, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x_1+x_2\right)=2m-4\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=-1\)

Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

Sử dụng định lí Vi-ét:

\(\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=3\Leftrightarrow\frac{2\left(x_1+x_2\right)}{x_1.x_2}=3\)(*)

Tính ∆' tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Sau đó bạn viết định lí Vi-ét và áp dụng và (*) 

Kết hợp cả hai điều kiện lại là ra kết quả đúng.

Cảm ơn ạ

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta'=1-(2-m)=m-1>0\Leftrightarrow m>1$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=2-m\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$2x_1^3+(m+2)x_2^2=5$

$\Leftrightarrow 2x_1^3+(2x_1+2x_2-x_1x_2)x_2^2=5$

$\Leftrightarrow 2(x_1^3+x_2^3)+x_1(2-x_2)x_2^2=5$

\(\Leftrightarrow 2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+x_1^2x_2^2=5\)

\(\Leftrightarrow 2[8-6(2-m)]+(2-m)^2=5\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-9=0\Leftrightarrow (m-1)(m+9)=0\)

Vì $m>1$ nên không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.

a: Δ=(2m+2)^2-4(m-6)

=4m^2+8m+4-4m+24

=4m^2+4m+28

=(2m+1)^2+27>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

c: Để (1) có ít nhất 1 nghiệm dương thì

m-6<0 hoặc (2m+2>0 và m-6>0)

=>m>6 hoặc m<6

1: Khi m=5 thfì phương trình sẽ là:

\(x^2-2\cdot4x+2\cdot5-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+7=0\)

=>x=1 hoặc x=7

2: \(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+12\)

\(=4m^2-16m+16=\left(2m-4\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm

a: Thay m=2 vào pt, ta được:

\(x^2-4x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{3}+2\\x=-\sqrt{3}+2\end{matrix}\right.\)